【成才之路】2015-2016学年高中数学2.3.1直线与平面垂直的判定练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是()A．(0°，90°)B．[0°，90°]C．(0°，90°]D．[0°，180°][答案]B[解析]由线面角的定义知B正确．3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1B．2C．3D．6[答案]B[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．4．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°[答案]B[解析]根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.5．(2015·江西新余一中高一月考)给出下列三个命题：①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()1A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案]D[解析]设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD为直角三角形． PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．二、填空题7．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________.[答案]垂直[解析]取AC中点E，连BE、DE.由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．因此，AC⊥BD．8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为________.[答案]45°[解析]如图，设C在平面α内的射影为O点，连结AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝，∴CM＝，CO＝.∴sinCMO＝＝，∴∠CMO＝45°.三、解答题9.如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB．作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD．[分析]要证AH⊥平面BCD，只需证AH垂直于平面BCD内两条相交直线即可．当条件中有线段相等时，证明线线垂直可以考虑等腰三角形的性质．[证明]取AB的中点F，连接CF、DF. CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB．2 CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF. CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD．又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE. AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH. AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD．[点评]垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线线垂直，要证线线垂直，可证线面垂直．关键是在平面内找出(或作出)与已知直线垂直的直线，利用等腰三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法．10.如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．(1)求证：PM⊥平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．[解析](1)证明： PA＝PC，M为AC的中点，∴PM⊥AC．①又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AM＝MC＝MB＝AC＝5.在△PMB中，PB＝13，MB＝5.PM＝＝＝12.∴PB2＝MB2＋PM2，∴PM⊥MB．②由①②可知PM⊥平面ABC．(2)解： PM⊥平面ABC，∴MB为BP在平面ABC内的射影，∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．在Rt△PMB中tan∠PBM＝＝.能力提升一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是()A．...
