【金版学案】2015-2016高中数学2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习新人教A版必修11．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y＝x2，y＝x4的幂函数，而函数y＝2x2不是幂函数．2．幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y＝xα恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y＝xα为______；当α为整数且为偶数时，y＝xα为______；当x为分数时可将y＝xα化为根式再判断．基础梳理1．幂函数3.(1)(1，1)(0，0)和(1，1)(2)递增递减(3)奇函数偶函数,1．我们知道，形如y＝xα(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y＝ax(其中a是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数mn的形式，但幂函数y＝xα中，自变量在底数的位置，而指数函数y＝ax中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y＝xα来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y＝xα过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y＝xα所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1),那我们只能判断这个幂指数的图象关于y轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x＝t(t>1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．下列函数中，定义域是R的是()A．y＝x－2B．y＝xC．y＝x2D．y＝x－12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数1C．指数函数D．正比例函数3．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)＝____自测自评1．解析：函数y＝x－2，y＝x－1的定义域为{x|x∈R，x≠0}，函数y＝x的定义域为{x|x≥0}，函数y＝x2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C3．解析：设f(x)＝xn，则＝2n，解得n＝.∴f(x)＝x，f(4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－11．解析：由幂函数定义知选B.答案：B2．已知函数：①y＝xx，②y＝－x2，③y＝x0，④y＝2x，⑤y＝x2＋1，⑥y＝，其中幂函数的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A.答案：A3．函数y＝x－2在区间上的最大值是()3．解析： y＝x－2在上是单调递减函数，∴当x＝时，y有最大值4.答案：CA.B．－C．4D．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.3____2.4；②0.31____0.35；③()－____()－；④1.1－____0.9－.4．①＜②＜③＞④＜5．下图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1＜n＜0＜m＜1B．n＜－1，0＜m＜1C．－1＜n＜0，m＞1D．n＜－1，m＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n＜－1，0＜m＜1.故选B.答案：B6．(2013·上海卷)函数f(x)＝x－的大致图象是()6．解析： y＝x－定义域为(0，＋∞)，故选A.2答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y＝x3；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝x－2；(5)y＝x－.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y＝x3，定义域是R.(2)y＝x＝，定义域是R.(3)y＝x＝，定义域是[0，＋∞)．(4)y＝x－2＝，定义域是{x|x∈R，且x≠0}．(5)y＝x－＝，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y＝x...
