第二章2.32.3.2平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有1个B．有2个C．有无数个D．不存在[解析]经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．2．已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是(B)A．1B．2C．3D．4[解析]①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n∥α，所以③不正确；④中，由于n∥m，n⊄α，m⊂α，则n∥α，同理n∥β，所以④正确．3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(C)A．60°B．30°C．45°D．15°[解析]由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．4．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是(C)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC[解析]可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(B)A．ACB．BDC．A1D1D．A1A[解析]在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C1C. E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，∴CE⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CE.二、填空题6．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.[解析] PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC， PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.7．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为__90°__.[解析]如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE、AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以∠DEA＝90°.三、解答题8.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.(1)求证：DE＝DA；(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；[解析](1)取EC的中点F，连接DF. CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF. BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF. BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM. EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又 AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.又 BN⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值．[解析](1) PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.同时，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC.又由DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝a.在Rt△PDO中，tan∠POD＝＝＝.B级素养提升一、选择题1．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中，正确的是(B)A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直[解析]由题意，m与α斜交，令其在α内...
