高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.3.3直线与圆的位置关系课堂探究探究一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法：(1)(几何法)由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【典型例题1】(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A.l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：(方法一)圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，所以点P到圆心C(2,0)的距离是d＝1＜2，所以点P在圆C内部，所以直线l与圆C相交．(方法二)将点P的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3,0)在圆内，所以过点P的直线l与圆C相交．答案：A(2)已知动直线l：y＝kx＋5和圆C：(x－1)2＋y2＝1，则当k为何值时，直线l与圆C相离？相切？相交？解：(方法一)(代数法)联立得方程组得(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0，则Δ＝(10k－2)2－4(k2＋1)·25＝－40k－96，所以当直线l与圆C相离时，－40k－96＜0，即k>－；当直线l与圆C相切时，－40k－96＝0，即k＝－；当直线l与圆C相交时，－40k－96>0，即k＜－.(方法二)(几何法)圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径r＝1.设圆心C到直线l的距离为d，则d＝.当d>r，即>1时，k>－，此时直线l与圆C相离．当d＝r，即＝1时，k＝－，此时直线l与圆C相切．当d＜r，即＜1时，k＜－，此时直线l与圆C相交．探究二弦长问题1．直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．2．若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3”．【典型例题2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d＝＝.于是，弦长为2＝2＝4.解法二：联立方程y＝x与(x－2)2＋(y－4)2＝10，得x2－6x＋5＝0.①设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根，于是由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝5，则|AB|＝＝4.探究三圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：(1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形．【典型例题3】已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.解析：由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，则＝1，解得m＝8或－18.答案：8或－18探究四与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算．有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等．【典型例题4】已知实数x，y满足y＝，求m＝及b＝2x＋y的取值范围．思路分析：y＝可化为x2＋y2＝3(y≥0)，即以(0,0)为圆心，半径为的半圆，m＝＝，可看作半圆上的点与点(－3，－1)连线的斜率；b可看作与半圆相交的直线2x＋y－b＝0在y轴上的截距．解：y＝表示以原点为圆心，半径为的上半圆，m＝表示过点(－3，－1)和(x，y)的直线的斜率，如图(1)所示．图(1)图(2)可知kAB≤m≤kAC.所以kAB＝＝.因为AC与半圆x2＋y2＝3(y≥0)相切，所以kAC＝.所以m的取值范围是.由b＝2x＋y，知b表示直线2x＋y－b＝0在y轴上的截距，如图(2)所示．可知直线b＝2x＋y一定位于两直线l1与l2之间．由直线l2与半圆相切，得b＝，由直线l1过D(－，0)，得b＝－2.故b的取值范围是[－2，]．点评本题解决的关键是理解m和b的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范围．探究五易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线...