高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3.4 圆与圆的位置关系例题与探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P、Q，且OP⊥OQ(O为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解.解法一:设P(x1，y1)、Q(x2，y2).由消去x,得(3-2y)2+y2+(3-2y)-6y+c=0，即5y2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y1+y2=4，y1y2=.如图2.3(3.4)3所示， OP⊥OQ，∴=-1，即.解得9-6(y1+y2)+5y1y2=0.∴9-6×4+5×=0，解得c=3.从而所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x2+y2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P、Q的圆的方程为x2+y2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x2+y2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,①且圆心(，)在直线x+2y-3=0上,+2·()-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x2+y2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切，则圆心在直线y=x上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为，这个圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为()A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r==3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9.(1)求证:无论m为何值，直线l与圆C总相交.(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l的距离为d，则d=≤.∴当m=时，dmax=＜3(半径).故动直线l总与圆C相交.证法二:直线l变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0.令解得如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=，∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交.(2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小.由(1)知,当m=时，弦长最小.∴最小值为.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，∴过点A且垂直AC的直线被圆C所截弦长最小.∴kl=.∴解得m=.此时弦长为.故当m=时，直线被圆C所截弦长最小，最小值为.绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小.解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±B.±2C.±2D.±4思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心(0，0)到直线的距离等于半径，∴.∴a的值为±2，选B.答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-4y+12=0上，(1)求x-y的最大及最小值；(2)求x2+y2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意.(1)解：设x-y=m，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C上,⊙C的圆心坐标为(3,2),∴l与⊙C有公共点.⊙C的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l的距离d=≤1，|1-m|≤，得1-≤m≤+1.∴x-y的最大值为+1,最小值为1-.(2)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2=(=|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC交⊙C于A、B.当P与A重合时，|OP|min=|OA|=|OC|-1=-1;当P与B重合时，|OP|max=|OB|=|OC|+1=+1.从而，14-2≤x2+y2≤14+2.解法二:设x2+y2=r2(r＞0)，因此P在⊙O上，又在⊙C上，图2-3-(3,4)-5即⊙O与⊙C有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O与⊙C外切时，r最小.此时|OC|=r+1=,∴rmin=-1.当⊙O与⊙C内切时，r最大.此时，|OC|=|r-1|=，∴rmax=+1.∴14-2≤x2+y2≤14+2.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2==x2+2x+1+...