2.2空间中直线与直线的位置关系练习1.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.【答案】C2.过一点与已知直线垂直的直线有().A.一条B.两条C.无数条D.无法确定【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.【答案】C3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.1(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A14.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E、F分别是AA1、AB的中点.(1)哪些棱所在直线与直线EF垂直?(2)求异面直线C1D1与EF所成的角.【解析】(1)AD,BC,A1D1,B1C1.(2)∵AB∥DC,DC∥D1C1,∴AB∥D1C1,∴∠EFA是C1D1与EF所成的角.∵∠EFA=45°,∴C1D1与EF所成的角为45°.5.已知两条直线a,b都和第三条直线c垂直并相交,则直线a,b的位置关系是().A.平行B.相交C.异面D.平行、相交、异面【解析】直线a,b都和第三条直线c垂直并相交,则直线a,b的关系可能平行,可能相交,也可能异面.【答案】D6.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1、BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是().2A.平行B.异面C.相交D.平行或异面【解析】∵E、F分别是AA1、BB1的中点,∴EF∥AB.又∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又∵AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.【答案】A7.已知异面直线a与b成80°的角,P为空间一定点,则过点P与a,b所成的角都是50°的直线有且仅有条.【解析】过定点P分别作a,b的平行线a',b',则a',b'形成两对对顶角,其中一对对顶角的角平分线与a',b'成50°角,所以有3条.【答案】38.如图,在棱长均为a的三棱锥A-BCD中,E为BC的中点,求异面直线AE和BD所成角的余弦值.3【解析】如图,取CD的中点F,连接EF、AF.∵E为BC的中点,∴EF为△CBD的中位线,∴EF∥BD,∴AE与EF所成的锐角或直角就是异面直线AE和BD所成的角,由正三角形的性质可知AE=AF=a,EF=a.在△AEF中,cos∠AEF==.即异面直线AE和BD所成角的余弦值为.9.S是边长为a的正三角形ABC所在平面外一点,SA=SB=SC=a,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线SA与EF所成的角为.【解析】4如图所示,取AC的中点M,连接EM、FM,则由三角形中位线定理知,EM∥SA且EM=SA,MF∥BC且MF=BC,∴∠MEF(或其补角)是异面直线SA与EF所成的角.在△EMF中,EM=SA=,FM=BC=,连接FC,由题设条件易知△FEC为直角三角形,EF=a,∴△EMF为等腰直角三角形,∴∠MEF=45°,∴异面直线SA与EF所成的角为45°.【答案】45°10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,P∈E1F1.(1)过P点作一条直线与棱CD平行,说明作法.(2)试说明EF与E1F1的关系.【解析】(1)如图,在平面A1B1C1D1内过点P作直线l∥C1D1,∵CD∥C1D1,∴l∥CD,∴l即为所求直线.5(2)EF∥E1F1,且EF=E1F1.证明:连接EE1、FF1,如图所示.∵AE∥A1E1,AE=A1E1,∴四边形A1E1EA为平行四边形,∴AA1∥EE1,AA1=EE1.同理可证,AA1∥FF1,AA1=FF1,∴EE1∥FF1,EE1=FF1,∴四边形E1F1FE为平行四边形,∴EF∥E1F1且EF=E1F1.6
