高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题VIP免费

【优化指导】2015年高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的线性运算211用已知向量表示其他向量57共线向量定理的运用1、46、8、10综合问题39、12131．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使得b＝λa，即λa－b＝0，符合题意，故选D.答案：D2．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝()A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D3．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，有a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，有m＝n.其中正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4解析：①正确．因为实数与向量的积满足分配律．②正确．因为实数与向量的积满足结合律．③错误．因为若m＝0，则a，b可以是任意向量．④正确．因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选C.答案：C4．已知向量a，b，若AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D1解析：∵BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，即BD＝2AB，∴BD∥AB.又∵BD，AB都有公共点B，∴A，B，D三点共线．答案：A5．若AP＝tAB(t∈R)，O为平面上任意一点，则OP＝________________.(用OA，OB表示)解析：AP＝tAB，OP－OA＝t(OB－OA)，OP＝OA＋tOB－tOA＝(1－t)OA＋tOB.答案：(1－t)OA＋tOB6．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，∴解得λ＝－，k＝－4.答案：－47.如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设AE＝a，AF＝b，试用a，b表示向量AB，AD.解：因为AE＝AB＋AD＝a，AF＝AB＋AD＝b，所以解得AB＝a－b，AD＝b－a.8．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0解析：当e1∥e2时，易知a与b共线；若e1与e2不共线，设a＝kb，则有e1＋λe2＝k·2e1，即(1－2k)e1＋λe2＝0，于是所以因此若a∥b，则e1∥e2或λ＝0.故选D.答案：D9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：AB＝a＋2b，CD＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以AB与CD不共线．所以AB与CD不平行．又AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b，显然AD＝2BC.所以AD∥BC.所以四边形ABCD为梯形．故应选A.答案：A10.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则DE＝______BC.解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又DE与BC同向，∴DE＝BC.答案：211．已知向量a，b.(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．解：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.(2)①×4＋②×3，得(12x－8y)＋(－12x＋9y)＝4a＋3b，即y＝4a＋3b，代入①式，得x＝(a＋2y)＝(a＋8a＋6b)＝3a＋2b，∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.12.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：∵F、G分别是AB、AC的中点，∴FG＝BC.同理，EH＝BC.∴FG＝EH.∴四边形EFGH为平行四边形．13．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝OA＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD、BC交于点E，AE＝AD＝(a＋b)．由OP＝OA＋λa＋λb得到OP－OA＝AP＝2λ·(a＋b)＝2λAE，λ∈[0，＋∞)，∴AP与AE共线．由λ∈[0，＋∞)知道动点P的轨迹是射线AE，∴必过△ABC的重心．1．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．3．用已知向量表示其他向量的方法3