2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时目标1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝__________.(2)λa(a≠0)的方向；特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.2．向量数乘的运算律(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝____________.(3)λ(a＋b)＝____________.特别地，有(－λ)a＝____________＝________；λ(a－b)＝____________.3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________________.一、选择题1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且PA＋PB＋PC＝AB，则()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上4．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为()A．2B．3C．4D．55．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且CD＝4BD＝rAB＋sAC，则r－s等于()A．0B.C.D．36．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|等于()A．8B．4C．2D．1题号123456答案二、填空题7．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.8．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且OC＝xOA＋yOB，则x＋y＝________.9.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝______.(填写正确的序号)①－BC＋BA②－BC－BA③BC－BA④BC＋BA110.如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)三、解答题11．两个非零向量a、b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．12.如图所示，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝______.(用a，b表示)能力提升13．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心14．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量数乘λa(1)|λ||a|(2)λ>0λ<0002．(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λb－(λa)λ(－a)λa－λb3．b＝λa24．加减数乘λμ1a±λμ2b作业设计1．D[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.∴n＝2m，此时，m，n共线．]2．C[ BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB，∴A、B、D三点共线．]3．D[PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA，∴P在AC边上．]4．B[ MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.]5．C[ CD＝CB＋BD＝4BD，∴CB＝3BD.∴CD＝AD－AC＝AB＋BD－AC＝AB＋CB－AC＝AB＋(AB－AC)－AC＝AB－AC∴r＝，s＝－，r－s＝.]6．C[ BC2＝16，∴|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4，∴|AB＋AC|＝4. M为BC中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴|AM|＝|AB＋AC|＝2.]7.a－b＋c8．1解析 A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使AC＝λAB.∴OC－OA＝λ(OB－OA)．∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.9．①解析－BC＋BA＝CB＋BA＝CB＋BD＝CD.10.(b－a)解析MN＝MB＋BA...
