2．2.2直线与平面平行的性质如图所示，已知E为空间四边形ABCD的边AB的中点，EF∥平面BCD，求证：F是AD的中点．证明：因为EF∥平面BCD，BD＝面ABD∩面BCD，所以EF∥BD，因为E为空间四边形ABCD的边AB的中点，所以F是AD的中点．►思考应用由扣在桌面上的书的实例思考：当一条直线与一个平面平行时，过该直线可作多少个平面与已知平面相交，相交的交线与这条直线又有怎样的位置关系？解析：当一条直线与一个平面平行时，过该直线可作出无数个平面与已知平面相交，这无数条相交直线与这条直线都平行，当然，这无数条交线也互相平行．1．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(D)A．只和这个平面内的一条直线平行B．只和这个平面内的两相交直线不相交C．和这个平面内的任何一条直线都平行D．和这个平面内的任何一条直线都不相交解析：因为直线和平面平行，则直线和平面就没有交点，直线和平面内的直线就平行或异面．12．如果a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是(D)A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．不确定解析：b与α相交或b⊂α两种情况．3．如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(D)A．平行B．相交C．异面D．不确定4．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(A)A．平行B．相交或平行C．相交或异面D．平行或异面1．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(B)A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有解析：直线a与n条直线的交点可确定一个平面，该平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条直线与a平行．2．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，则(B)A．平面α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于平面αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于平面α.应选B.3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(C)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是(C)2A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形解析：因为平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．5．a∥β，b∥β，则直线a与b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直且不相交．其中可能成立的有________．答案：①②③④6．已知直线a，b，平面α，且a∥b，a∥α，a，b都在平面α外，求证：b∥α.证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c，∵a∥α，a⊂β，a⊄α，α∩β＝c，∴a∥c.∵a∥b，∴b∥c.又∵c⊂α，b⊄α，∴b∥α.7．E，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于F，G.求证：EH∥FG.证明：连接EH.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.又BD⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，∴EH∥平面BCD.又EH⊂平面α，平面α∩平面BCD＝FG，∴EH∥FG.8．如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H.3(1)求证：EFGH为平行四边形；(2)若AC＝BD，四边形EFGH能否为菱形？(3)在什么情况下，四边形EFGH为矩形？(4)在什么情况下，四边形EFGH为正方形？解析：(1)证明：∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EH，∴BD∥EH，同理BD∥FG.∴EH∥FG，同理EF∥HG.∴四边形EFGH为平行四边形．(2)四边形EFGH为菱形．(3)当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．(4)当AC⊥BD，AC＝BD，且E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点时，四边形EFGH为正方形．1．直线和平面平行的性质定理揭示了线面平行中蕴涵着线线平行，通过线面平行可得线线平行，也给出了作平行线的重要方法．2．注意线线平行与线面平行的相互转化．4
