课时作业(八)等差数列的性质A组基础巩固1．若等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，则a6＋a7＋a8等于()A．34B．35C．36D．37解析：由题意得：(a3＋a7－a10)＋(a11－a4)＝12，∴(a3＋a11)＋a7－(a10＋a4)＝12.∵a3＋a11＝a10＋a4，∴a7＝12，∴a6＋a7＋a8＝3a7＝36.答案：C2．a＝，b＝，则a、b的等差中项为()A.B.C.D.解析：＝＝＝.答案：A3．数列{an}满足3＋an＝an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是()A．－2B．－C．2D.解析：由已知可得{an}是等差数列，公差d＝3，∴a5＋a7＋a9＝a2＋a4＋a6＋9d＝36，∴log6(a5＋a7＋a9)＝2.答案：C4．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，则a9－a11的值为()A．30B．31C．32D．33解析：由等差数列的性质可得a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝240，解得a8＝48，设等差数列{an}的公差为d，a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝32，故选C.答案：C5．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，则＝()A.B.C.D.解析：由d＝知＝，∴a2－a1＝.①又＝，∴b4－b3＝(y－x)．②由②÷①得＝.答案：C6．在等差数列{an}中，a2000＝log27，a2022＝log2，则a2011＝()A．0B．7C．1D．49解析：∵数列{an}是等差数列，∴a2011是a2000与a2022的等差中项，即2a2011＝a2000＋a2022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2011＝0.答案：A7．已知数列－1，x1，x2,9和－1，y1，y2，y3,9都是等差数列，则＝________.解析：设两个等差数列的公差分别为d1和d2，则3d1＝9－(－1)＝10，d1＝，4d2＝9－(－1)＝10，d2＝，于是＝＝＝.答案：8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面4节的容积共3升，最下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：解法一：设自上第一节竹子容积为a1，则第9节容积为a9，且数列{an}为等差数列．由a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即解得a5＝.解法二：设自上第一节竹子容积为a1，依次类推，数列{an}为等差数列．又a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，解得a1＝，d＝，∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.答案：9．已知函数f(x)＝，在数列{xn}中，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)．(1)求证：是等差数列；(2)求当x1＝时，x2015的值．解析：(1)证明：∵f(x)＝，xn＝f(xn－1)，∴xn＝.∴＝＝＋.即－＝(n≥2，n∈N*)．∴是等差数列．1(2)由(1)可知是等差数列，且＝2，公差d＝，∴＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)．∴＝2＋×(2015－1)＝.∴x2015＝.10．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．解：(1)∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4，∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.(2)a2＝4，a4＝8，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.B组能力提升11．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为1.5，那么b等于()A.B．1＋C.D．2＋解析：灵活选择三角形面积公式，再结合余弦定理可解出b的值．由a，b，c成等差数列可得2b＝a＋c.又∵S△ABC＝1.5，即acsin30°＝ac＝，∴ac＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos30°＝(a＋c)2－2ac－6＝4b2－12－6，∴b2＝4＋2.又∵b是△ABC的一条边，∴b>0，∴b＝＋1.故选B.答案：B12．若{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为________．解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝2a5＝a2＋a8.代入a1＋a5＋a9＝π，得(a2＋a8)＝π，∴a2＋a8＝，从而cos(a2＋a8)＝－.答案：－13．已知等差数列{an}中，a1＝a，公差d＝1，若bn＝a－a(n∈N*)，试判断数列{bn}是否为等差数列，并证明你的结论．解：数列{bn}是等差数列．证明如下：∵等差数列{an}中，a1＝a，d＝1，∴an＝a＋(n－1)×1＝n－1＋a.∴bn＝a－a＝(n－1＋a)2－(n＋1－1＋a)2＝1－2n－2a，∴bn＋1＝1－2(n＋1)－2a.∴bn＋1－bn＝[1－2(n＋1)－2a]－(1－2n－2a)＝－2.又∵b1＝a－a＝－2a－1，∴数列{bn}是以－2a－1为首项，－2为公差的等差数列．14．已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝，n∈N*.设bn＋1＝1＋，n∈N*，求证：数列是等差数列．证明：由题设知an＋1＝＝＝，所以＝，从而2－2＝1(n∈N*)，所以数列是以1为公差的等差数列．2
