高中数学 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系 2.2.4 点到直线的距离例题与探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离典题精讲例1(经典回放)在△ABC中，BC边的中点M(，)，直线AC的方程为x+1=0，直线AB的方程为x+y-1=0，求直线BC的方程.思路分析:确定直线的方程需要两个条件，本题已经给出直线BC经过M点，∴只要求得点B(或C)的坐标或直线BC的斜率就可以了.图2-2-(3,4)-1解法一:利用两点式，参看图2-2-(3,4)-1.设B(a，1-a)、C(-1，b)，则∴∴B(-4，5)、C(-1，-4).∴BC的方程为，即3x+y+7=0.解法二:利用点斜式.设直线BC的方程为y-=k(x+)(k存在).由得B点横坐标xB=(k存在).又点C横坐标xC=-1，∴由中点坐标公式得-1=-5，解得k=-3.∴直线BC的方程为3x+y+7=0.解法三:利用两点式.作MD∥AC交AB于D，则点D(-，)为边AB的中点， A(-1，2)，∴B(-4，5).∴由点M、B的坐标可得直线BC的方程为3x+y+7=0.绿色通道：灵活运用直线方程的各种形式，常常要和平面几何的有关知识相结合.黑色陷阱：一定要注意直线方程各种形式的应用条件.变式训练1l过点P(2，3)，且与两坐标轴的截距相等,求直线l的方程.解法一:利用点斜式(本题斜率存在且不为零).设直线l的方程为y-3=k(x-2).令x=0，得在y轴上的截距b=-2k+3；令y=0，得在x轴上的截距a=2(k≠0).由两坐标轴上截距相等，得-2k+3=2，即k=-1或.∴l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.解法二:利用一般式.设直线l的方程为x+y+C=0或kx-y=0，由于点P(2，3)在l上,得2+3+C=0或2k-3=0，故C=-5或k=.∴l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0.例2已知直线l:3x-y-1=0，在l上求一点P，使得(1)P到点A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到点A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.图2-2-(3,4)-2思路分析:利用三角形的性质(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)以及对称性质.解：(1)如图2-2-(3,4)-2中，设点B关于l的对称点为B′(a,b),则l是BB′的垂直平分线.∴kBB′=.∴即点B′的坐标为(3，3).于是AB′的方程为,即2x+y-9=0.解方程组得即l与AB′的交点坐标为(2，5).由平面几何知识知，对l上的任意点P′，有||P′A|-|P′B||=||P′A|-|P′B′||≤||PA|-|PB′||=|B′A|.图2-2-(3,4)-3当且仅当P′、B′、A共线时取等号.故可知所求P点坐标为(2，5).(2)如图2-2-(3,4)-3中，设C点关于l的对称点为C′，可求出C′的坐标为(,).于是可得AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0.由AC′和l的方程联立,解得交点的坐标为P().绿色通道：许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.求解解析几何问题时常会碰到计算量大的问题，简化运算量的技巧是学习解析几何的一项基本技能.当直线满足某一规律时，直线上的点也满足这个规律，因此许多直线的问题是从分析直线上的某点入手的.变式训练2已知A(4，-3)、B(2，-1)和直线l:4x+3y-2=0，求一点P，使|PA|=|PB|，且点P到直线l的距离等于2.解法一:设点P(x，y)，|PA|=|PB|，∴.①点P到直线l的距离等于2，∴.②由①②得P(1，-4)或().解法二:设点P(x，y)，|PA|=|PB|，∴点P在线段AB的垂直平分线上.AB的垂直平分线的方程是y=x-5，∴设点P(x，x-5).点P到直线l的距离等于2，∴由上式得到x=1或，∴P(1，-4)或(，).例3已知n条直线:x-y+C1=0(C1=),x-y+C2=0,x-y+C3=0,……x-y+Cn=0(其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn).这n条平行线中，每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n.(1)求Cn;(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成的图形的面积.思路分析:(1)由两条平行线间的距离公式,依次写出C2,C3,…,Cn,然后找出它们的共同的规律,利用逐项相加的方法把中间项C2,C3,…,Cn-1消去,即可得到Cn.在解决了第(1)问后,后面的两问便容易解决了.解：(1)对任意的两条相邻的平行线Ci、Ci+1间的距离记为di(i=1,2,…,n-1),根据两平行线间的距离公式有di=,i=1,2,…,n-1.此即di=Ci+1-Ci,i=1,2,…,n-1.分别令i=1,2,…,n-1,再把所得的各式相加,得(d1+d2+…+dn)=Cn-C1,即(2+3+…+n)=Cn-C1.把C1=代入此式得Cn=(1+2+3+…+n)=.(2)直线x-y+Cn=0在坐标轴上所截的线段长皆为|Cn|,∴截得三角形的面积为|Cn|2=n2(n+1)2.图2-2-(3,4)-4(3)直线x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积就是直线x-y+Cn=0在坐标轴上截得的三角形的面积与直线x-y+Cn-1=0在坐标...