向量的正交分解与向量的直角坐标运算1．若M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为()A．(－8，－1)B．C．D．(8，－1)2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()A．B．C．D．3．已知点A(3，－4)，B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为()A．B．(－5,8)C．或(－4,7)D．或(－5,8)4．在ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为()A．B．C．D．5．△ABC的两个顶点分别为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则点C的坐标为()A．(－8,3)B．(－3,4)C．(3，－8)D．(－4,3)6．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．7．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则λ＝__________时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ__________时，点P在第三象限内．9．(1)已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求向量a，b的坐标．(2)x轴的正方向与向量a的夹角为60°，且|a|＝2，求向量a的坐标．10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c.参考答案1．解析：由题意知，P为线段MN的中点，则点P的坐标为.答案：B2．解析：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则(－1,2)＝m(1,1)＋n(1，－1)＝(m＋n，m－n)．所以解得故c＝.答案：B3．解析：由题意，知＝±2，设P(x，y)，则(3－x，－4－y)＝±2(－1－x,2－y)，即或解得或答案：D4．解析：如图所示，＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以＝＝.所以＝.答案：C5．解析：设点C的坐标为(x，y)，则解得所以点C的坐标为(3，－8)．答案：C6．解析：如图所示，∵＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴＝.又∵＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，∴||＝，||＝，∴||≠||，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形7．解析：如图，各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．于是4＋－3＝(1，－2)．答案：(1，－2)8．解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，＋λ·＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵＝＋λ，∴∴若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴.若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.∴当时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ＜－1时，点P在第三象限内．答案：＜－19．解：(1)①×2＋②得，5a＝(－8＋3,6＋4)＝(－5,10)，∴a＝(－1,2)，∴b＝(－4,3)－2(－1,2)＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．(2)设a＝(x，y)．∵x＝|a|·cos60°＝2×＝1，y＝±|a|·sin60°＝±2×＝，∴a＝(1，)．10．解：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系．由||＝2，得＝(2,0)．设点B的坐标为(x1，y1)，点C的坐标为(x2，y2)．由∠AOB＝150°，根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1＝1·cos150°＝，，所以B，即＝.同理，点C的坐标为，即＝.设＝m＋n，则＝m(2,0)＋n，即解得所以＝－3－，即c＝－3a－b.
