【成才之路】2015-2016学年高中数学2.1.4数乘向量课时作业新人教B版必修4一、选择题1．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是()A．2a－bB．2b－aC．a－bD．b－a[答案]B[解析]原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝[(4－16)a＋(16＋8)b]＝－a＋2b＝2b－a.2．已知AD＝AB，AE＝AC，则DE＝()A．CBB．－CBC．－CBD．CB[答案]C[解析]DE＝AE－AD＝AC－AB＝BC＝－CB.3．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．B．C．－D．－[答案]A[解析]解法一：∵A、D、B三点共线，∴＋λ＝1，∴λ＝.解法二：∵AD＝2DB，∴AD＝AB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB＝CA＋λCB，∴λ＝，故选A．4．(2015·山东潍坊高一期末测试)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若AC＝a，BD＝b，则CE等于()A．－a＋bB．a－bC．a＋bD．－a－b[答案]D[解析]如图∵E是OB的中点，∴OE＝DB＝－BD＝－b，∴CE＝CO＋OE＝－AC＋OE＝－a－b.5．若O是平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1等于()A．AOB．BOC．COD．DO[答案]B[解析]∵AB＝4e1，BC＝6e2，1∴3e2－2e1＝BC－AB＝(BC＋BA)＝BD＝BO，故选B．6．在△ABC中，AB＝a，AC＝b，且AM＝AB，BN＝BC，则MN＝()A．a＋bB．a＋bC．－a－bD．－a－b[答案]A[解析]如图所示，MN＝MB＋BN＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b.二、填空题7．点C在线段AB上，且＝，则AC＝________AB，BC＝________AB.[答案]－[解析]∵＝，C在线段AB上，如图，∴设AC＝3，则CB＝2，∴AB＝5，∴AC＝AB，BC＝－AB.8．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.[答案][解析]由已知得，∴.三、解答题9．化简下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．[解析](1)原式＝6a－3b－8a＋6b＝－2a＋3b.(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－a.(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c＝－11b＋11c.10.设x、y是未知向量，解下列方程或方程组．(1)5(x＋a)＋3(x－2b)＝0；(2).[解析](1)原方程可化为5x＋5a＋3x－6b＝0，即8x＝－5a＋6b，解得x＝－a＋b.(2)将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得2y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.①式①代入原方程组的第二个方程，得x－(－a＋b)＝b.移项并化简得x＝－a＋b.一、选择题1．已知向量a、b不共线，实数x、y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2[答案]A[解析]由，解得，∴x－y＝3，故选A．2．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝()A．－BC＋BAB．－BC－BAC．BC－BAD．BC＋BA[答案]A[解析]∵D是AB的中点，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA，故选A．3．O是▱ABCD所在平面内任一点，OA＝a、OB＝b、OC＝c，OD＝d，则()A．a＋b＋c＋d＝0B．a＋b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b＋c－d＝0[答案]D[解析]∵a－d＝DA，c－b＝BC，∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝DA＋BC＝0，∴选D．4．(2015·商洛市高一期末测试)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A．b＋cB．c－bC．b－cD．b＋c[答案]A[解析]如图，3∵BD＝2DC，∴BD＝BC＝(AC－AB)＝(b－c)，AD＝AB＋BD＝c＋b－c＝b＋c.二、填空题5．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.[答案]－[解析]∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，又方向相反，∴a＝－b.6．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，则a＋b＝________，a－b＝________，2a－3b＝________.[答案]3e1－e2e1＋3e2e1＋8e2[解析]∵a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，∴a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.三、解答题7．已知G是△ABC内的一点，若GA＋GB＋GC＝0.求证：G是△ABC的重心．[解析]如图，∵GA＋GB＋GC＝0，∴GA＝－(GB＋GC)以GB、GC为邻边作平行四边形BGCD，则GD＝GB＋GC，∴GD＝－GA，又∵在▱BGCD中，BC交GD于E，∴BE＝EC，GE＝ED，∴AE是△ABC的边BC的中线，且|GA|＝2|GE|，∴G为△ABC的重心．8．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于E点，O是任意一点，如图所示．求证：OA＋OB＋OC＋OD＝4OE.[解析]解法一：因为E为平行四边形两对角线的交点，所以2OE＝OA＋OC，2OE＝OB＋OD.即4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.4解法二：因为OE＝OA＋AE＝OB＋BE＝OC＋CE＝OD＋DE，而AE＋CE＝0，BE＋DE＝0，所以4OE＝OA＋OB＋OC＋OD.9．(1)化简：[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．[解析](1)原式＝(4a－3b＋b－a＋b)＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]＝(a－b)＝a－b.(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝(－5＋)i＋(－－)j＝－i－5j.5
