课时作业(十四)指数函数及其性质的应用一、选择题1．若2x＋1<1，则x的取值范围是()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.【答案】D2．下列判断正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜πD．0.90.3＞0.90.5【解析】∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.【答案】D3．(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【解析】A中f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A满足题意．B中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C中f(x)＝x3是奇函数．D中f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故B，C，D都不满足题意．【答案】A4．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是()A．1＜|a|＜2B．|a|＜2C．|a|＞1D．|a|＞1【解析】由题意知a2－1＞1，解得a＞或a＜－，故选D.【答案】D二、填空题5．不等式0.52x>0.5x－1的解集为________(用区间表示)．【解析】∵0<0.5<1，∴由0.52x>0.5x－1得2x，则x的取值范围为________．【解析】∵＝2－0.5，又y＝2x在R上是增函数，∴2x>⇔2x>2－0.5⇔x>－0.5.【答案】三、解答题8．(2014·广州高一检测)已知f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于y轴对称，且f(2x－1)＞f(3x)，求x的取值范围．【解】因为f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于y轴对称，所以f(x)＝，因为f(2x－1)＞f(3x)，所以＞，所以2x－1＜3x，所以x＞－1.9．设函数f(x)＝＋是R上的偶函数且a＞0.(1)求a的值．(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．【解】(1)因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)，2即＋＝＋，所以＝e，故－a＝0，又a＞0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝ex＋e－x.设任意的x1，x2＞0，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2＝ex1－ex2＋－＝ex1－ex2＋＝(ex1－ex2)，因为x1，x2＞0且x1＜x2，所以ex1＜ex2且ex1ex2＞1，故(ex1－ex2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．1．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则()A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)【解析】f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝＝2|x|，得f(－2)＞f(－1)．【答案】A2．若函数f(x)＝，则该函数在(－∞，＋∞)上()A．单调递减且无最小值B．单调递减且有最小值C．单调递增且无最大值3D．单调递增且有最大值【解析】函数f(x)＝为减函数，2x＋1＞1，故f(x)＝∈(0，1)，无最值．【答案】A3．我国第六次人口普查人口数约为13.397亿．如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数大约为________亿(精确到亿)．【解析】人口年增长率为1%，经过x年后，设我国人口数为y亿，第六次人口普查时人口数约为13.397亿；经过1年后，人口数为13.397＋13.397×1%＝13.397×(1＋1%)(亿)；经过2年后人口数为13.397×(1＋1%)＋13.397×(1＋1%)×1%＝13.397×(1＋1%)2(亿)；经过3年后人口数为13.397×(1＋1%)2＋13.397×(1＋1%)2×1%＝13.397×(1＋1%)3(亿)；…所以经过x年后人口数为y＝13.397×(1＋1%)x(亿)(x∈N*)．当x＝20时，y＝13.397×1.0120≈16(亿)．【答案】164．(2014·永安高一检测)设a是实数，函数f(x)＝a－(x∈R)．(1)证明：对于任意的实数a，函数f(x)在R上为增函数．(2)试确定a的值，使函数f(x)为奇函数．【解】(1)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝由于指数函数y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，所以2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0.又2x1＋1＞0，2x2＋1＞0，4所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)因为此结论与a的取值无关，所以对任意的实数a，函数f(x)在R上为增函数．(2)因为f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即a－＝－整理得2a＝＋＝＝2，解得a＝1.经检验a＝1符合题意，所以当a＝1时，函数f(x)为奇函数．5
