【成才之路】2015-2016学年高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习新人教A版必修2基础巩固一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案]D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条[答案]C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥cB．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面[答案]D[解析]a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为()A．60°B．120°C．30°D．60°或120°[答案]D[解析]由等角定理知α、β相等或互补．所以β＝60°或120°.5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]A1[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．6．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]②④是正确的．二、填空题7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．[答案]3[解析]AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．8．如图所示，六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形．(1)A1F1与BD所成角的度数为________.(2)C1F1与BE所成角的度数为________.[答案]30°60°三、解答题9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点．求证：∠BGC＝∠FD1E.[分析]利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．2[解析]因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．[解析]取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.能力提升一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交[答案]D[解析]如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都与a、b相交，AB、AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面．2．已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是()A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交C．若a∥b，b∥c，则a∥c...
