2.1.4向量数乘课后导练基础达标1.［(2a+4b)-(4a-4b)］等于()A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b解析:原式=(a+2b-4a+4b)=(6b-3a)=2b-a.答案:B2.下列各组中的向量a,b共线的有()①a=2e,b=-2e②a=e1-e2,b=-2e1+2e2③a=4e1-e2,b=e1-e2④a=e1+e2,b=2e1-2e2A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④解析:对于①②③中的向量a与b,都存在一个相应的实数λ,使a=λb.而④中的两个向量不存在实数λ,使b=λa成立.答案:A3.若O是△ABC内一点,=0,则O是△ABC的()A.垂心B.重心C.内心D.外心解析:∵=0,∴=-(+).如图,+==-,∴A、O、E三点共线,点D为BC中点.∴O为三角形三条中线的交点.∴O是△ABC的重心.答案:B4.设e1,e2是两个不共线的向量,则向量a=2e1-e2与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线,当且仅当λ的值为…()A.0B.-1C.-2D.-解析:设a=μb(μ∈R),则2e1-e2=μ(e1+λe2),即.答案:D5.设=(a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),则共线的三点是()A.A、B、CB.B、C、DC.A、B、DD.A、C、D解析:∵+==(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,∴=,又与有公共点B,∴A、B、D三点共线.答案:C6.在平行四边形ABCD中,++等于()A.B.C.D.解析:++=++=-==.可知D选项正确.答案:D7.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是()A.a与-λa的方向相反B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a解析:如果λ>0,则a与-λa的方向相反,如果λ<0,则a与-λa的方向相同,A错;如果|λ|<1,则|-λa|<|a|,B错;|-λa|是一个大于或等于零的实数,而|λ|a是向量,它们之间不能比较大小,D错.答案:C8.已知向量a、b不共线,实数x,y满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=____,y=______.解析:∵a与b不共线,根据向量相等,得,解得答案:3-4综合运用9.(2005南京第二十七中)设a,b为不共线的非零向量,=2a+3b,=-8a-2b,=-6a-4b,那么()A.与同向,且||>||B.AD与同向,且||<||C.与反向,且||>||D.∥解析:由=(2a+3b)+(-8a-2b),则=-6a+b.又有=+=-12a-3b=(-8a-2b),即=.∴与同向,||>||.故选A.答案:A10.(2006武汉一中)如图所示,已知=,用,表示,则等于()A.-+B.+C.-D.--解析:由=+=+=(-+)+=+.故选A.答案:A11.已知四边形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,对角线AC,BD的中点为E,F,则向量=___________.解析:在四边形ABCD中取AD的中点M,连结ME,MF.所以ME为△ACD的中位线,MF为△DAB的中位线,故=-=-=(+)=［(a-2c)+(5a+6b-8c)］=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c拓展探究12.已知△ABC中,=a,=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,λ∈［0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.思路分析:按向量的运算法则作出图形分析求解.解:以,为邻边作ABDC,设对角线,交于点E,则==(a+b).由=+λa+λb得-==2λ(a+b)=2λ·,λ∈［0,+∞).∴与共线.由λ∈［0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心.
