高中数学 2.1 向量的线性运算 2.1.4 数乘向量课后训练 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学试题VIP免费

数乘向量1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是()A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a2．已知AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，G是它们的交点，则下列等式不正确的是()A．＝B．＝C．＝－2D．＋＝3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则()A．＝(a＋b＋c＋d)B．＝(a－b＋c－d)C．＝(c＋d－a－b)D．＝(a＋b－c－d)4．(2012·四川雅安期末)设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．已知四边形ABCD为菱形，点P在对角线AC(不包括端点A，C)上，则等于()A．λ(＋)，λ∈(0,1)B．λ(＋)，λ∈C．λ(－)，λ∈(0,1)D．λ(－)，λ∈6．O为平行四边形ABCD的中心，若＝4e1，＝6e2，则＝__________.7．如图所示，已知＝，若用，表示，则等于__________．8．给出下面四个结论：①对于实数p和向量a，b，有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确结论的序号为__________．9．如图所示，L，M，N是△ABC三边的中点，O是△ABC所在平面内的任意一点，求证：＋＋＝＋＋.10．已知，在△ABC中，＝a，＝b.对于△ABC所在平面内的任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问，动点P的轨迹是否过某一个定点？并说明理由．参考答案1．解析：如果λ＞0，则a与－λa的方向相反，如果λ≤0，则a与－λa的方向相同，故选项A错误；如果|λ|＜1，则|－λa|＜|a|，故选项B错误；|－λa|是一个大于或等于零的实数，而|λ|a是向量，它们之间不能比较大小，故选项D错误．答案：C2．解析：由图知，选项A，C，D均正确，选项B应该为＝.答案：B3．解析：如图，连接OF，OE，则＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)＝(c＋d－a－b)．故选C．答案：C4．解析：∵＝，∴四边形ABCD是梯形．又∵||＝||，∴四边形ABCD是等腰梯形．答案：D5．解析：由向量的运算法则，可得＝＋.又点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||，故＝λ＝λ(＋)，λ∈(0,1)．答案：A6．解析：＝＝(－)＝(－)＝(6e2－4e1)＝3e2－2e1.答案：3e2－2e17．解析：由＝＋＝＋＝(－＋)＋＝＋.答案：＋8．解析：①②正确；③当p＝0时不正确；④可化为(p－q)a＝0，∵a≠0，∴p－q＝0，即p＝q，∴④正确．答案：①②④9．证明：∵＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋(＋＋)＝(＋＋)＋(＋＋)＝(＋＋)＋0＝＋＋，∴原式成立．10．解：是．理由：如图，以，为邻边作ABDC，设对角线AD，BC交于点E，则＝＝(a＋b)．由＝＋λa＋λb，得－＝＝2λ·(a＋b)＝2λ·，λ∈[0，＋∞)．∴与共线．由λ∈[0，＋∞)可知，动点P的轨迹是射线AE，∴动点P的轨迹必过△ABC的重心．