1.5三视图、表面积、体积的综合应用练习1.已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积为().A.9πB.9C.3πD.3【解析】由题意设圆锥的底面半径为r,则有2πr=6π,所以r=3,则圆锥的高为h==,所以V=Sh=×π×32×=3π.【答案】C2.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是().A.4B.C.D.6【解析】由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形,下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=(1+4+2)·2=,故选B.【答案】B13.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于.【解析】∵圆M的面积为3π,∴圆M的半径r=.设球的半径为R,由图可知,R2=R2+3,∴R2=3,∴R2=4,∴S球=4πR2=16π.【答案】16π4.已知几何体的三视图如下,试求它的表面积和体积.2【解析】由图可知此几何体是正三棱柱,高为2,底面边长为4,底面正三角形的高为2,所以V=S底h=×4×2×2=8,S表=2S底+S侧=2××4×2+3×4×2=8+24.5.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为().A.1∶2∶3B.1∶3∶5C.1∶2∶4D.1∶3∶9【解析】两个截面截得两个圆锥,与原圆锥共三个,它们的底面半径之比r1∶r2∶r3=1∶2∶3,它们的母线长之比l1∶l2∶l3=1∶2∶3,所以它们的侧面积之比S1∶S2∶S3=1∶4∶9,所以S1∶(S2-S1)∶(S3-S2)=1∶3∶5.【答案】B6.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,底面是一个两直角边分别为1和2的直角三角形,若三棱柱的外接球的表面积为9,则三棱柱的体积为().A.1B.C.2D.3【解析】设三棱柱的外接球的半径为R,则4πR2=9π,解得R=,因为底面是直角三角形,所以底面斜边所在的侧面的对角线恰好是外接球的直径,所以侧棱的长h==2,所以三棱柱的体积为V=×1×2×2=2.【答案】C7.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是.【解析】由三视图知,棱长为2的正方体内接于球,故正方体的体对角线长为2,即为球的直径,所以球的表面积为S=4π()2=12π.【答案】12π8.在底面半径为R,高为h的圆锥内有一内接圆柱,求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高,并求此时侧面积的最大值.3【解析】如图,设圆柱的高为x,其底面半径为r,则=,∴r=.圆柱的侧面积S侧=2πrx=·x(h-x)=-(x2-hx)=-[(x-)2-]=-(x-)2+.当x=时,S侧最大值=.即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为,此时侧面积的最大值为πRh.9.把圆柱延轴截面剖开,取其中一块为底座,并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具,直观图和正(主)视图如图所示,则该小玩具的体积为.【解析】根据三视图数据可知底座半圆柱的半径为2,母线长为8,四棱锥的底面是边长为4和8的矩形,高为4,所以体积V=π×22×8+×4×8×4=16π+.【答案】16π+410.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高为4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积.(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积.(3)哪个方案更经济些?【解析】(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成16m,则仓库的体积V1=Sh=×π×()2×4=πm3.如果按方案二,仓库的高变成8m,则仓库的体积V2=Sh=×π×()2×8=96πm3.(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成16m,半径为8m.棱锥的母线长l==4,则仓库的表面积S1=π×8×4=32πm2.如果按方案二,仓库的高变成8m.棱锥的母线长为l==10,则仓库的表面积S2=π×6×10=60πm2.(3)∵V2>V1,S2
