【优化课堂】2016秋高中数学1.4.2空间图形的公理（二）练习北师大版必修2[A基础达标]1．下列命题中，真命题的个数是()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．A．0B．1C．2D．3解析：选B．①这两个角也可能互补，故①是错误的；②是正确的，它是等角定理的推广和延伸．③空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，故③是错误的．所以结论正确的个数为1.2．已知不同的直线a，b，c，下列说法正确的是()A．a∥b，b∥c，则a∥cB．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．a与b所成的角与b与c所成的角相等，则a∥c解析：选A.A是公理4的内容．如图正方体中，AB，A1B1都与CC1异面，但AB与A1B1不异面，B错，AB，A1B1都与BB1相交，但AB与A1B1不相交，C错；AB，BC都与DD1成90°角，但AB与BC不平行，D错．3．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A．全等B．相似C．仅有一个角相等D．全等或相似解析：选D．由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D．4．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．5．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断正确的是()A．MN≥(AC＋BD)B．MN≤(AC＋BD)C．MN＝(AC＋BD)D．MN＜(AC＋BD)解析：选D．如图，取BC的中点H，连接MH，HN，MN，据题意有MH＝AC，MH∥AC，HN＝BD，HN∥BD．在△MNH中，由两边之和大于第三边知，MN＜MH＋HN＝(AC＋BD)．6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相同；(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相反．答案：(1)D1B1C1(2)A1D1B17．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确的是________(填序号)．解析：把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．解析：因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD．在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝.cos∠BB1D＝＝＝.所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.答案：9.在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EFE1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD．同理，E1F1B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为A1AB1B，A1AD1D，所以B1BD1D．所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BDB1D1.所以EFE1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M.因为MF1B1C1，B1C1BC，所以MF1BC.所以四边形BCF1M是平行四边形．所以MB∥CF1.因为A1MEB，所以四边形EBMA1是平行四边形．所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1.同理可证：A1F∥E1C.又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.10.如图，ABEDFC为多面体，点O在棱AD上，OA＝1，OD＝2，在侧面ACFD中，△OAC和△ODF为正三角形，在底面ABED中，△OAB和△ODE也都是正三角形，求证：直线BC∥EF.证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥DE，OB＝DE，所以OG＝OD＝2.同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2，又由于G与G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合，在△GED和△GFD中，由OB∥DE，OB＝DE和OC∥DF，OC＝DF，可知B，C分别是GE，GF的中点，所以BC是△GFE的中位线，故BC∥EF.[B能力提升]1．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2...
