1.3算法案例第一课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1.利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+…+6x5当x=2时的值时,下列说法正确的是()A.先求1+2×2B.先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4C.f(2)=1+2×2+3×22+4×23+5×24+6×25直接运算求解D.以上都不对解析:利用秦九韶算法应先算anx+an-1,再算(anx+an-1)x+an-2.答案:B2.用更相减损术求117和182的最大公约数时,需做减法的次数是()A.5B.6C.7D.8解析:182-117=65,117-65=52,65-52=13,52-13=39,39-13=26,26-13=13,共做6次减法.答案:B3.1037和425的最大公约数是()A.51B.17C.9D.3解析:用辗转相除法计算如下:1037=425×2+187,425=187×2+51,187=51×3+34,51=34×1+17,34=17×2.所以1037和425的最大公约数是17.答案:B4.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=-4的值时,v4的值为()A.-57B.220C.-845D.3392解析:由秦九韶算法有:v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=-7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220.答案:B5.三个数175,100,75的最大公约数是()A.5B.25C.75D.50解析:先求175与100的最大公约数:175=100×1+75,100=75×1+25,75=25×3.则175与100的最大公约数是25.以下再求25与75的最大公约数:75-25=50,50-25=25.故25是75和25的最大公约数,也就是175,100,75的最大公约数.答案:B6.3141与1278的最大公约数为.解析:用辗转相除计算:3141=1278×2+585,1278=585×2+108,585=108×5+45,108=45×2+18,45=18×2+9,18=9×2.所以3141与1278的最大公约数为9.答案:97.已知多项式p(x)=3x5+9x4+x3+kx2+4x+11,当x=3时的值为1616,则k=.解析:p(x)=((((3x+9)x+1)x+k)x+4)x+11,p(3)=((((3×3+9)3+1)3+k)3+4)×3+11=1616.所以k=12.答案:128.有甲、乙、丙三种溶液分别重147g,343g,133g,现要将它们分别全部装入小瓶中,每个小瓶装入液体的质量相同,则每瓶最多装g.解析:先求147与343的最大公约数:343-147=196,196-147=49,147-49=98,98-49=49.所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数:133-49=84,84-49=35,49-35=14,35-14=21,21-14=7,14-7=7.所以147,343,133的最大公约数为7,1即每瓶最多装7g.答案:79.求1356和2400的最小公倍数.解:2400=1356×1+1044,1356=1044×1+312,1044=312×3+108,312=108×2+96,108=96×1+12,96=12×8.所以1356与2400的最大公约数为12.则1356与2400的最小公倍数为(1356×2400)÷12=271200.10.用秦九韶算法求当x=2时多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1的值.解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下的形式:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值,v0=8;v1=8×2+5=21;v2=21×2+0=42;v3=42×2+3=87;v4=87×2+0=174;v5=174×2+0=348;v6=348×2+2=698;v7=698×2+1=1397.故当x=2时,多项式的值为1397.2
