第一章1.21.2.2第二课时分段函数与映射基础巩固一、选择题1.下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A.A=B=N+,对应关系f:x→y=|x-3|B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=±D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=[答案]B[解析]对A选项,当x=3时,y=0∉B,排除A选项;对于C选项,对x的每一个值y有两个值与之对应,排除C选项;对于D选项,当x=0时,在B中没有元素与之对应,排除D选项;只有B选项符合映射的概念,故选B.2.下列给出的函数是分段函数的是()①f(x)=②f(x)=③f(x)=④f(x)=A.①②B.①④C.②④D.③④[答案]B[解析]对于②取x=2,f(2)=3或4,对于③取x=1,f(1)=5或1,所以②、③都不合题意.3.已知f(x)=则f+f等于()A.-2B.4C.2D.-4[答案]B[解析]f=,f=f=f=.∴f+f=4.4.已知集合A中元素(x,y)在映射f下对应B中元素(x+y,x-y),则B中元素(4,-2)在A中对应的元素为()A.(1,3)B.(1,6)C.(2,4)D.(2,6)[答案]A[解析]由题意知解得5.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是()A.x=60tB.x=60t+50C.x=D.x=[答案]D[解析]由于在B地停留1小时期间,距离x不变,始终为150千米,故选D.6.集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数是()A.2B.3C.5D.8[答案]B[解析]由f(a)=0,f(b)=0得f(a)+f(b)=0;f(a)=1,f(b)=-1得f(a)+f(b)=0;由f(a)=-1,f(b)=1得f(a)+f(b)=0,共3个,故选B.二、填空题7.已知a,b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为________.[答案]1[解析]由题意知∴∴a+b=1.8.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是________.[答案]{2}∪[-1,1][解析]设f(x)=t,∴f(t)=2,当t∈[-1,1]时,满足f(t)=2,此时-1≤f(x)≤1,无解,当t=2时,满足f(t)=2,此时f(x)=2即-1≤x≤1或x=2.三、解答题9.如下图,函数f(x)的图象是由两条射线y1=k1x+b1(x≤1),y2=k2x+b2(x≥3)及抛物线y3=a(x-2)2+2(1<x<3)的一部分组成,求函数f(x)的解析式.[解析]由图知解得所以左侧射线的解析式为y1=-x+2(x≤1),同理x≥3时,右侧射线的解析式为:y2=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数的解析式为:y3=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0),所以a+2=1,a=-1,所以抛物线的解析式为y3=-x2+4x-2(1<x<3).综上所述,函数解析式为y=10.(2015·湖北黄冈期末)f(x)=(1)求f(f(-2))的值;(2)求f(a2+1)(a∈R)的值;(3)当-4≤x<3时,求f(x)的值域.[解析](1) f(-2)=1-2×(-2)=5,∴f(f(-2))=f(5)=4-52=-21.(2)当a∈R时,a2+1≥1>0,∴f(a2+1)=4-(a2+1)2=-a4-2a2+3(a∈R).(3)①当-4≤x<0时,f(x)=1-2x,∴1<f(x)≤9;②当x=0时,f(x)=2;③当0<x<3时,f(x)=4-x2,∴-5<f(x)<4.故当-4≤x<3时,函数f(x)的值域是(-5,9].能力提升一、选择题1.(2015·安庆高一检测)设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应关系f中,不能构成A到B的映射的是()A.f:x→y=x2B.f:x→y=3x-2C.f:x→y=-x+4D.f:x→y=4-x2[答案]D[解析]对于D,当x=2时,由对应关系y=4-x2,得y=0,在集合B中没有元素与之对应,所以D选项不能构成A到B的映射.2.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3km),以后每1km价为1.8元(不足1km按1km计价),则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的()[答案]B[解析]由已知得y==.故选B.3.(2015·海兴中学高一第一次考试)已知映射f:A→B,其中A=B=R,对应为f:x→y=x2-2x+2,若对实数k∈B,在集合中没有元素对应,则k的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[答案]B[解析]设k=x2-2x+2即x2-2x+2-k=0,k没有元素对应即上述方程无解Δ<0,(-2)2-4(2-k)<...