集合的概念一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．2011年上半年发生的大事能构成一个集合B．小于100的整数构成的集合是无限集C．空集中含有元素0D．自然数集中不含有元素0解析：“大事”是不确定的对象，故A错；空集中不含有任何一个元素，故C错误；自然数集中含有元素0，2．若元素a∈Q，但a∉Z，则a的值可以是(D)A.B．－5C．0D.解析：由题意可知，元素a是有理数，但a不是整数，所以a是分数．3．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解组成的集合中的元素个数为(C)A．0B．2C．3D．4解析：方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，方程x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1.所以由上述两方程的解组成的集合中有2,3，－1三个元素．4．下列描述的对象组成的集合是无限集的是(B)A．方程x2－6x＋5＝0的根B．大于0且小于2的实数C．小于20的质数D．倒数等于它本身的实数解析：A中描述的集合中只有1,5两个元素；B中大于0且小于2的实数有无限多个；C中小于20的质数有8个；D中描述的对象只有±1.故B中所描述的集合是无限集．5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有元素的个数为(D)A．5B．4C．3D．2解析：当x≠0时，x，－x，|x|，，－表示x与－x两个元素；当x＝0时，它们都等于0，故只能表示1个元素，所以它们最多表示两个元素，故选D.6．已知a，b为非零实数，代数式＋＋的值组成集合A，则下列判断正确的是(B)A．－3∈AB．－1∈AC．1∈AD．2∈A解析：∵a，b为非零实数，∴代数式＋＋的取值为－1和3，∴－1∈A,3∈A.7．一个集合A中的元素a满足a∈N，且4－a∈N，则集合A的元素最多有(C)A．3个B．4个C．5个D．6个解析：∵a∈N，且4－a∈N，∴集合A中的元素为小于等于4的自然数，∴集合A中的元素最多有5个．8．若集合A中的元素满足条件：对于集合A中任意两个元素a，b，都有a＋b∈A，a－b∈A，a×b∈A，则称集合A为数环．下面数集能称为数环的是(C)A．N*B．NC．ZD．无理数集解析：取a＝1，b＝2，则a－b∉N*，a－b∉N；取a＝，b＝2，则a×b＝4不属于无理数集，故A、B、D均错误二、填空题1．已知集合A为双元素集合，且只含有元素2a＋3和7－4a，则实数a的取值范围为________．a≠解析：令2a＋3≠7－4a，∴6a≠4，∴a≠.2．集合A中的元素为2,3，a2＋2a－3，集合B中的元素为a＋3,2.若5∈A，且5∉B，则a＝________.－4解析：∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，则a＝2或a＝－4.当a＝2时，集合B中的元素为5,2，不满足5∉B，故a＝2舍去．当a＝－4时，集合B中的元素为－1,2，满足5∉B，故a＝－4成立．综上所述，a＝－4.三、解答题1．已知集合A中的元素为a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求a的值．解析：(1)若a＋2＝1，则a＝－1.则(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1，A中的元素为1,0,1.不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．(2)若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.1当a＝0时，a＋2＝2，a2＋3a＋3＝3，A中的元素为2,1,3，满足题意条件．当a＝－2时，a＋2＝0，a2＋3a＋3＝1，A中的元素为0,1,1，不满足集合中元素的互异性，∴a＝－2舍去．(3)若a2＋3a＋3＝1，即(a＋1)(a＋2)＝0，∴a＝－1或a＝－2.由(1)(2)可知a＝－1和a＝－2均不满足题意，∴a＝－1或a＝－2舍去．综上(1)(2)(3)，a＝0.2．设数集A是满足下列条件的集合：①1∉A；②若a∈A，则∈A.求证：(1)若2∈A，则A中还有其它两个元素；(2)集合A不可能是单元素集合．证明：(1)由2∈A，则＝－1∈A，由－1∈A，则＝∈A.由∈A，则＝2∈A，又回到了开始，故当2∈A时，集合A中必含有另两个元素－1，.(2)不妨设集合A中只有1个元素a，由题意可知∈A，由于集合A为单元素集合，所以a＝，即a2－a＋1＝0，其Δ＝1－4＝－3<0，故方程a2－a＋1＝0无解．所以集合A不可能是单元素集合．2
