第一章1.11.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是()A．②B．③C．②③D．①②③[答案]C[解析]高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是()A．a∈AB．a∉AC．a＝AD．{a}∈A[答案]A[解析]由于＋＜10，所以a∈A.3．(2015·山东临沂检测)集合{x∈N*|x－2＜3}的另一种表示形式是()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}[答案]B[解析]由x－2＜3，得x＜5，又x∈N*，所以x＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组的解集是()A.B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7}D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[答案]D[解析]解方程组得，用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[答案]D[解析]由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.6．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A．2B．3C．0或3D．0或2或3[答案]B[解析]因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N*；________Z；0________N；(－1)0________N*；＋2________Q；________Q.(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R.[答案](1)∉∉∈∈∉∈(2)∈∉∈∉(3)∈∉[解析](1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.[答案]2[解析]显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.三、解答题9．已知集合A含有a－2,2a2＋5a,12三个元素，且－3∈A，求a的值．[解析] －3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a＝－1舍去．当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－.[注意](1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a－2,2a2＋5a,12的关系分类，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A是单元素集合，求集合A；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．[分析]将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析](1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.[点评]“a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不...
