1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球自我小测1．若A，B为球面上相异两点，则通过A，B所作的大圆有()A．1个B．无数个C．一个也没有D．1个或无数个2．下列命题中错误的是()A．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A．4B．C．D．4．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，AA′＝，则A，C两点间的球面距离为()A．B．C．πD．π5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()6．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是()A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的半径等于__________．8．某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，则该地球仪的半径是__________cm．9．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2cm，高为4cm，且P为母线B′B的中点，∠AOB＝120°，则一只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为__________．10．如图所示组合体是由哪些几何体组成的？11．轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长．12．设地球的半径为R，在北纬45°纬线圈上有两个点A，B，A在西经40°经线上，B在东经50°经线上，求A，B两点间纬线圈的劣弧长及A，B两点间的球面距离．参考答案1．解析：(1)若A，B两点的连线经过球心O，则经过A，B的大圆有无数个；(2)若A，B两点的连线不经过球心O，由立体几何知识知，不共线的三个点A，B，O确定一个圆，此时大圆只有一个．答案：D2．解析：直角三角形绕其一条直角边旋转才能形成圆锥，如果绕其斜边旋转则形成的是两个圆锥的组合体．答案：B3．解析：圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝，即两底面之间的距离为．答案：D4．解析：如图所示，设球的半径为R，则有R＝＝1，连接AC，连接AC′与A′C交于点O，则O为外接球的球心．在△AOC中，AO＝OC＝1，AC＝，所以∠AOC＝90°．所以A，C两点间的球面距离为＝．答案：B5．答案：D6．解析：设圆锥的底面半径是r，母线长是l．如图所示，2πr＝πl，所以2r＝l，所以＝．所以轴截面对应的等腰三角形的顶角为60°，因此底角为60°．答案：C7．解析：因为圆M的面积为3π，所以圆M的半径r＝．设球的半径为R，由图可知，R2＝＋3，所以R2＝3．所以R2＝4．所以R＝2．答案：28．解析：设地球仪上北纬30°纬线所在圆的半径为rcm，则有2πr＝12π．所以r＝6(cm)．设地球仪的半径为Rcm，则＝cos30°＝．所以R＝(cm)．答案：9．解析：将圆柱侧面沿母线A′A剪开展开成平面图，如图所示，则易知最短路程为平面图中线段AP的长．在Rt△ABP中，AB＝×4π＝(cm)，PB＝2cm，所以AP＝＝(cm)．即这只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为cm．答案：cm10．解：(1)正三棱柱内挖去一个圆柱．(2)圆锥挖去一个圆柱．11．解：如图为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面△SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°．在Rt△SOB中，h＝，l＝2r，所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝，根据题意得＝，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝＝．即该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2．12．解：如图所示，设45°纬线圈中心为O1，地球中心为O，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°．又因为OO1⊥⊙O1所在平面，所以OO1⊥O1A，OO1⊥O1B．又因为点A，B在北纬45°纬线圈上，所以∠OBO1＝∠OAO1＝45°．所以O1A＝O1B＝O1O＝OA·cos45°＝R．在Rt△AO1B中，因为AO1＝BO1，所以AB＝AO1＝R．所以△AOB为等边三角形．所以∠AOB＝60°．所以在45°纬线圈上，A，B两点间纬线圈的劣弧长为AO1＝·R＝．在球面上，A，B两点间的球面距离的长为·AO＝R(此时是大圆上的一段劣弧长)．所以A，B两点间纬线圈的劣弧长为，A，B两点间的球面距离为．
