第28课时二次函数与一元二次方程江苏省通州高级中学严东来【教学目标】1．让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况．2．让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中．体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现．本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题．难点是能否画出符合题意的二次函数的图象．【例题精析】例1．求证：⑴作出二次函数的图象，观察图象分别指出x取何值时，y=0?y<0?y>0?⑵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？【分析】通过研究本题，让学生理解用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方法（因为有很多的问题不可避免的会用到一些解一元二次不等式的知识）并体会由特殊到一般的探究问题的思想方法．【解法】⑴(略)⑵①当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋用心爱心专心c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2＝对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；②当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；③当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．【评注】这道习题基本上囊括了本节的内容，让学生自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够体现新课程的理念．例2．已知函数f(x)＝3x＋log2x问：方程f(x)＝0在区间［，1］内没有实数解？为什么？【分析】运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．本题也为利用二次函数图象讨论二次方程根的情况做一个铺垫．【解法】 f()＝3＋log2＝－2＜0，又f(1)=31＋log21＝3＞0， 函数f(x)＝3x＋log2x的图象是连续曲线，∴f(x)在区间［－1,0］内有零点，即f(x)＝0在区间［－1,0］内有实数解．【评注】判断函数在给定区间是否有解，可以运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．例3．⑴关于x的方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围；⑵关于x的方程有两实根在内，求m的取值范围；⑶关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围；⑷关于x的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围；用心爱心专心【分析】按如图所示列出不等式【解法】令f(x)=⑴ 对应抛物线开口向上，∴方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)<0,即解得．⑵据题意得．⑶有图知，原命题等价于∴．⑷令g(x)=，据题意得可以解得．【评注】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1．根据条件画出图象；2．根据图象写出字母参数必须满足的条件；3．解不等式．例4．若对任意实数均成立，求实数的取值范围．【分析】由于对数形结合这一重要的数学思想的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解展示1：由题意可得：．故所求实数的取值范围是．错解展示2：令，则原不等式可化为：，用心爱心专心由，故所求实数的取值范围是．【解法】令，由得．则题设等价于不等式对一切均成立．亦即：在上恒取正值．从而有，或．故所求实数的取值范围是．【评注】错解1误把原不等式看作是关于的一元二次不等式；而错解2虽通过换元将原不等式化为关于的一元二次不等式，然而却忽略了新变元的变化范围．【本课练习】1．函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上()．A、没有零点B．有无数个零点C．有两个零点D．有一个零点2．方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间()A．(-2,1)B．C．D．3．已知f（x）...
