高一数学数形结合的思想方法及其在解题中的应用北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：数形结合的思想方法及其在解题中的应用二、学习目标1、了解数形结合的思想方法；2、了解常见的数形结合的类型；3、能够通过数形结合解决一些简单的问题。三、知识要点1、数形结合的思想方法：数学是研究空间形式和数量关系的科学。空间形式和数量关系即通常所说的“形”和“数”，是同一个事物的两个方面，是互相联系的。把空间形式和数量关系结合起来，以分析问题和解决问题，这种数学思想方法就是数形结合的思想方法。一般地，由形解数，以数释形，形数结合均属于数形结合。2、分式与斜率对形如的范围的求解，常可构造动点，定点，则问题转化为求直线PQ的斜率，关键是明确动点P所在的曲线；3、无理分式与点到直线距离或平行线间的距离：，该式的明显特征是分母有根式，根式中可配成平方和；4、不等式与函数图像的位置关系：，可令，则函数的图像在函数的上方；5、含绝对值的式子与数轴上的距离：可视为数轴上到点的距离之和；6、可配成平方和的式子与平面上两点间的距离；7、其它形式的数形结合四、考点解析与典型例题考点一利用函数图像例1、若方程lg（－x＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围。【解】原方程变形为即：设曲线y＝（x－2），x∈（0，3）和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m＜4时，有唯一解，即－3＜m≤0，∴m＝1或－3＜m≤0例2、已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点。则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是用心爱心专心【解】建立如图所示的直角坐标系，则线段AB所在的直线方程为即，设即。考点二利用直线的斜率例3、若，比较的大小关系。【解】所给条件式符合函数的形式，联想到直线的斜率，构造动点画出的图像立即得答案。例4、求的值域。【解】所给条件式符合的形式，构造动点，则P点在曲线上运动，则问题转化为求过点P和定点Q（－1，－2）的直线的斜率，可解得，即为所求值域。考点三利用点点距离、点线距离或线线距离用心爱心专心例5、函数f（x）=（）的值域是（A）[－]（B）[－1，0]（C）[－]（D）[－]【解】所给条件式符合，可视为点P（－1，0）到直线的距离（取其负值），也可视为直线和直线的距离（取其负值）。法一：在坐标系tOm中画出的图像，这是一条绕原点旋转的直线，由图像可知：选B。法二：在坐标系tOm中画出和直线的图像，分别是一条绕原点旋转的直线和绕（1，0）点旋转的直线，由图像可知：选B。例6、求的最小值。【解】问题所求即为数轴上到点1和－2的距离之和的最小值，易知结果为3。考点四利用函数性质例7、设a∈R，f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），若≤1，求函数f（x）的值域。用心爱心专心【解】将f（x）视为a的一次函数，即令g（a）＝（x2－1）a＋x，则问题转化为求函数g（a）在[－1，1]上的值域的问题，因为g（a）在[－1，1]上为减函数，故g（a）max=g（－1）=1－x2+x，g（a）min=g（1）=x2+x－1，在－1≤x≤1时，分别求出1－x2+x，x2+x－1，从而可知所求的函数f（x）的值域为[－]。五、数学思想方法数形结合的思想方法在解题教学中占有非常重要的地位，其“数”、“形”结合，相互渗透，把式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1、方程的解所在区间是A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）2、圆的圆心到直线的距离是A.B.C.1D.3、已知f（x）=（x–a）（x–b）–2（其中a＜b，且α、β是方程f（x）=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b4、设函数是上的奇函数，，当时，.则A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.55、已知...
