高一数学向量的运算人教实验B版【本讲教育信息】一.教学内容：向量的运算二.学习目标1.进一步理解向量的有关概念;2.掌握向量的线性运算，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.三.知识要点1、向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。③单位向量：模为1个单位长度的向量。④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为。2、向量加法求两个向量的和的运算叫做向量的加法。设，则+==。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。说明：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；3、向量的减法①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）=；（ii）+（）=（）+=；（iii）若、是互为相反向量，则=，=，+=。②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4、实数与向量的积实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。注：结合律：λ（μ）=（λμ）（λ+μ）=λ+μ分配律：λ（+）=λ+λ5、平行向量基本定理：如果a=λb，则a∥b;反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a=λb6、平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7、特别注意：（1）向量的加法与减法是互逆运算。（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。（4）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。8、单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫作向量a的单位向量.9、基向量，轴上向量的坐标在轴l上取单位向量e，使e的方向与l同方向，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe，x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数;e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.小结：实数与轴上的向量建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量.10、轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和.11、公式（1）公式（2）=x2－x1（轴上向量坐标公式）即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式（3）|AB|=|x2－x1|12、平面向量的坐标运算（1）若，则（2）若，则（3）若=（x，y），则=（x，y）（4）若，则【典型例题】例1.判断下列说法是否正确，并说明理由。①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.⑦若，，则；⑧若，，则⑨若四边形ABCD是平行四边形，则解：①不正确。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确。单位向量的模均相等且为1，但方向并...
