高一数学同角三角函数的基本关系式知识精讲VIP专享VIP免费

高一数学同角三角函数的基本关系式【本讲主要内容】同角三角函数的基本关系式【知识掌握】【知识点精析】1.同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sincostanseccotcsc222222111，，（2）商数关系：tansincoscotcossin，（3）倒数关系：tancotcossecsincsc111，，应用公式时需注意：①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，等式中涉及的角是同一个角，如sincos22331，tan()cot()1001001，而sincos221就不一定成立。②利用平方关系进行开方运算，要注意结果的符号，必要时，要进行分类讨论。③这些关系式是对使它们有意义的那些角而言的。如：tansincos是当kkz2()时才有意义。④在计算、化简、证明三角函数式时常用技巧有：i）“1”的代换。根据需要，常将算式中的“1”用“sincos22”；“sectan22”；“sincsc”；“tancot”代换。ii）切化弦。利用商数把正切、余切化为正弦、余弦函数。iii）整体代换。将算式适当变形使条件可以整体代入或将条件适当变形找出与算式之间的关系。⑤公式应用非常广泛，因此除牢记公式原型外，还应注意公式的逆用，变形用。如：cossin221，sintancos，sincos(sincos)212等等。2.同角三角函数基本关系式的应用（1）已知一个角的某个三角函数值，求它的其他三角函数值。①尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号。②尽量避免使用平方关系（在一般情况下只能使用一次）。③必要时对问题要进行分类讨论，特别是对含有参数的问题。（2）三角函数式的化简化简实质上是不指定结果的恒等变形，结果要尽量简单，化简的一般要求是：①函数种类尽可能地少②次数化到最低③项数化到最少④尽可能不含分母和根式⑤特殊角的三角函数值要求出值来（3）证明三角恒等式用心爱心专心证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，常用的方法是：①由左边推至右边，或由右边推至左边，或左，右两边推出同一式子，遵循的是化繁为简的原则。②证明：左边－右边＝0。③综合法。④分析法。【解题方法指导】例1.已知：cos513，求sintan，的值。分析：题目中角所在的象限是不确定的，因此在解题过程中需要根据已知条件，进行分类讨论。解：cos5130，且cos1∴α是第二或第三象限角若α是第二象限角，则sincos112516912132tansincos1213513125若α是第三象限角，则sincos112132tansincos125例2.已知tanm，求α的其它三角函数值。分析：本题中含有字母m，因此要对m进行讨论。解：依题意α不在y轴上，即kkz2()若α在x轴上，则tansincossec0011，，，cot与csc不存在若α是第一或第四象限角，则sectancossec11111222mm，cottan11m用心爱心专心sintancoscscsinmmmm11122，若α是第二或第三象限角，则sectan1122mcossec1112mcottan11msintancosmm12csc12mm注意：已知一个角α的某一个三角函数值求该角的其它三角函数值时，一般先以与已知角有平方关系的函数为准将四个象限分成两大类，再利用商数关系和倒数关系求出该角的其它三角函数值。评述：以上两个例题都是根据一个角的某个三角函数值，求这个角的其它三角函数值，解这类问题关键注意两点：①角的某一个三角函数值是给定的数还是字母②这个角所在象限是否给定了这类问题的解的情况可以分为以下三种：①如果角的某一三角函数值与角所在象限都是给定的，那么只有一组解。②如果角的某一三角函数值给定了，但未给出角所在的象限，那么要先确定角在哪些象限，然后分别求解。一般有两组解。③如果角的某一三角函数值是用字母给出的，且未给出角所在的象限，那么角可能在四个象限或终边落在坐标轴上，这时可以把具有共性的两...