高一数学函数模型在解题中的应用北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：函数模型在解题中的应用1、实际问题的函数刻画2、用函数模型解决一些实际问题3、函数建模二.学习目标进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学知识解决实际问题的意识；进一步尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题；了解数学建模的过程三.知识要点一）常见的函数模型1、一次函数模型：现实生活中很多问题都可联系一次函数模型进行解决，如物体匀速直线运动中位移和时间的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，都可以通过直线来直观地刻画其变量之间的关系。解析式：y=kx+b,k≠0。其中参变量k有时称为比例系数。2、二次函数模型：抛体运动中位移和时间的关系（如掷铅球），匀加速直线运动中位移和时间的关系（如研究汽车刹车后的滑行）等，都可以通过二次曲线来刻画其变量之间的关系。解析式：y=ax2+bx+c,a≠0。3、幂函数模型：在气象学、工程学等科学与生产实践中蕴含着幂函数关系，这是一种应用十分广泛的函数模型，二次函数模型就是其中一种重要的模型。解析式：y=axn+b，a·b≠0。4、指数函数模型：细胞分裂、人口增长、利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活中都蕴含着指数函数关系。解析式：y=a·bx+c，a·b≠0。5、对数函数模型：对数函数模型在生产、生活及航天等领域有着比较广泛的应用。解析式：y=logax，a>0且a≠1。二）实际问题的函数刻画生活中的许多实际问题，都可转化为函数问题。通过建立函数模型，可以把实际问题转化为函数问题，进而利用函数的有关性质对函数问题进行处理和研究，得到数学结论，从而达到解决实际问题的目的。用函数来刻画实际问题是解决实际问题的第一步，也是最重要和最困难的一步，关键要做到以下几点：第一：认真读题。可以先大致浏览全题，理解问题背景，初步把握变量之间的数量关系；明确问题；第二：翻译。一要明确题目中涉及的概念、术语的意思及它们之间的联系，比如“利润”、“产量”的含义及两者之间的联系（利润=产量×（售价-成本））；二要设出相应的变量，用数学符号表述它们之间的联系，得到数学等式或方程；设变量时一般要遵循“问什么就设什么”的原则；第三：解题原则：以问题解决为中心。即为了解决问题需要我们做什么就做什么，反映在用心爱心专心解答顺序上是“就问题找条件”；数学结论要注意还原为实际问题的答案。三）数学建模1、数学建模是一种新的数学学习方式，有助于培养同学们的探究能力和创新能力，有助于体验数学在解决实际问题中的作用，体验数学的应用价值。比如今年牙买加选手博尔特打破百米世界纪录后，美国《连线》杂志就发表了文章，介绍数学家绘制的人类短跑速度纪录曲线，那么这根曲线到底是哪个函数的图像的一部分呢？我们就可以进行不同的假设，进行函数模拟，然后进行检验，最后数学家们认为，人类短跑速度并未达到人类的极限；再如，今年四川发生大地震之前的2006年，陕西师范大学的三位数学教师就公开发表学术论文，表明他们用数学的方法得到一个结论：云南和四川发生6.7级以上强震的最有可能的年份就是2008年，……类似的例子很多，都体现了数学是有巨大应用价值的。我们在本讲中只介绍数学建模的意义和一般步骤，不安排同学们进行建模实践，但希望同学们在平时的学习中，在教师的指导下做一些建模实践，体验综合运用数学知识解决实际问题的过程、方法和意义。下图是发表在美国《连线》杂志上的数学家绘制的人类短跑纪录曲线：2、数学建模的一般过程：①实验——通过实验等方法采集数据、列表、绘制散点图；②假设——分析图表信息，根据散点分布情况，选择适当的函数类型；再通过代入已有的部分散点信息，得到近似的函数模型；③检验——通过另外一些散点信息，检验这个模型的准确性；④修正——如果检验时相差很大，则对模型进行修正，直到得出合适的解；⑤还原——将数学结论转化为实际问题的答案。四.考点解析与典型例题考点一：平均增长率问题同类型的问题有人口增长、复利计息、利润增长、产量增长、绿化与沙漠化问题等，包括负增长。基本模型：P=Po×(1+r%)n,其中Po为初始量，r%为期平均增长率，...
