高一数学二次函数的图像与性质北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：二次函数的图像与性质二次函数及图像二次函数的性质二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系二.学习目标1、进一步研究二次函数及其图像；2、理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，领会研究二次函数图像移动的方法，并能迁移到其他函数；3、能够熟练地对一般二次函数解析式配方，研究二次函数图像的上下左右移动，并能研究其定义域、值域、单调性、最大（小）值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标；4、了解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，善于利用三个“二次”的关系进行相关问题的处理；5、培养抓住一个典型例子及化归的意识，学到讨论参数的能力；三.知识要点1、二次函数：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。2、二次函数的解析式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；②顶点式：；③零点式（两根式）：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。3、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.4、二次函数的图像的性质：①开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；②顶点坐标：；③对称轴方程：；④开口大小：a值越大，开口越小；a值越小，开口越大；⑤单调性：若a>0，单调增区间为（－∞，），单调减区间为（，＋∞）；若a<0，单调增区间为（，＋∞），单调减区间为（－∞，）；5、三个“二次”的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的两个零点，也是对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（或<0）的解集的端点。【典型例题】考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求用心爱心专心f（x）。解答：法一：利用二次函数的一般式方程设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由题意故得f（x）＝－4x2＋4x＋7。法二：利用二次函数的顶点式方程设f（x）＝a（x－m）2＋n由f（2）＝f（－1）可知其对称轴方程为，故m＝；又由f（x）的最大值是8可知，a<0且n＝8；由f（2）＝－1可解得a＝－4。故。法三：利用二次函数的零点式方程由f（2）＝－1，f（－1）＝－1可知f（x）＝－1的两根为2和－1，故可设F（x）＝f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）。又由f（x）的最大值是8可知F（x）的最大值是9，从而解得a＝－4或0（舍）。所以f（x）＝－4x2＋4x＋7。说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。考点二二次函数的图像变换例2.（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t＝。解答：作出的图像，I、若所有点都在x轴上方，则ymax＝f（3）＝2可解得t＝1；II、若图像有部分在x轴下方，把x轴下方的部分对称地翻折到x轴上方即可得到的图像，则ymax＝f（1）或ymax＝f（3），解得t＝－3或t＝1，经检验，t＝1。综上所述，t＝1。考点三二次函数的图像的应用例3.已知函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f（1）的范围是（）A.f（1）≥25B.f（1）＝25C.f（1）≤25D.f（1）>25解答：函数f（x）＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而，故f（1）＝9－m≥25。选A。说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。用心爱心专心考点四二次函数的性质的应用例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的值域中共有多少个整数？分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函数在[n，n＋1]上是增函数。故故知：值域中共有2n＋2个整数。说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。考点五二次函数的最值例5.试求函数在区间[1，3]上的最值。分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：<1，∈[1，2]，∈（2，3]，>3。解答：函数的对称轴I、当<1即时：函数在[1，3]上是增函数，故；II、当∈[1，2]即时：；III、当∈（2，3]即时：；IV、当>3即时：函数在[1，3]上...
