高一数学不等式的证明人教实验版（B）【本讲教育信息】一、教学内容：不等式的证明二、学习目标1、掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。2、在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。3、掌握反证法的应用。三、知识要点1、比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤.比较法的两种形式：①比差法：要证a>b，只需证a－b>0。②比商法：要证a>b且b>0，只需证1。说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。2、综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。基本不等式：（1）若则当且仅当a=b时取等号。（2）（3）a,b同号,3、分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程,综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。4、反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。【典型例题】例1、用反证法证明，若，则。证明：假设不大于，则或 ∴与用心爱心专心或这些都与已知相矛盾，则例2、设求证分析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法或比商法证明。证法一：左边－右边====∴原不等式成立。证法二：左边>0，右边>0。∴原不等式成立。思维点拨：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩法，如证法二。例3、证明：（）aaaaa1233分析：已知条件很简单（仅有a≥3），而要证明的无理不等式较复杂，遵循化繁为简的原则，容易想到用分析法求证。证法一：要证：aaaa123只要证：aaaa321即证：aaaa()()()312aaaaa1233（）证法二：要证：aaaa123即证：11123aaaaaaaa1230上式成立aaaaa1233（）小结：分析法是寻求结论成立的充分条件，而不是从结论出发推证已知条件，故证明过程中一定要注意格式，“要证”“只要证”等词必不可少。在解决有关根式的问题时，“分子有理化”也是常用的技巧。例4、已知为正数，若，求的最小值；用心爱心专心（2）若，求证：。解：（1） ∴当且仅当时，上式取等号，所以的最小值为（2）当且仅当时，上式取等号例5、已知，求证：。证法一（综合法）：证法二（分析法）：，为了证明，只需证明，即，，，.成立，成立本讲涉及的主要数学思想方法1、有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆凡是含有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。2、证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3、不等式证明还有一些常用的方法新疆王新敞特级教师源源源源源源http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/源源源源源源特级教师王新敞新疆换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com...
