高一数学上学期高频考点突破 专题10 指数函数（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题VIP免费

专题10指数函数模块一：指数幂运算1．根式⑴如果存在实数，使得(，，)，则叫做的次方根．⑵当有意义的时候，叫做根式，叫做根指数．⑶根式的性质：①，(，且)；②2．分数指数⑴规定正数的正分数指数幂的意义：⑵规定正数的负分数指数幂的意义：3．实数指数幂的运算法则；；（其中，，对任意实数，）．考点1：分数指数幂运算例1.（1）．【解答】解：，故答案为：110例2.（1）已知，且，求的值．【解答】解：，①又，，②．，．③将②、③代入①式得．（2）已知，求的值．【解答】解：由，则，则，则，则，模块二：指数函数图像的应用指数函数：一般地，函数xya(0a且1a，)xR叫做指数函数.指数函数图象与性质：图象定义域Ry=ax(01)(0,1)Oxy值域(0)，性质⑴过定点01，，即0x时，1y⑵在R上是减函数⑵在R上是增函数考点2：指数幂比较大小例3.(1)已知，，，则A．B．C．D．【解答】解：，，，又，，又，．故选：．(2)已知；；，则A．B．C．D．【解答】解：为减函数，，故，为增函数，，故，故，故选：．模块三：指数型复合函数重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题考点3：指数型复合函数例4.（1）求函数的定义域、值域和单调区间．【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为．令．是的增函数，当时，（1），而．，即值域为，．当时，为增函数，是的增函数，由越大推出越大，越大推出越大即越大越大即原函数单调增区间为，；当时，为减函数，是的增函数，由越大推出越小，越小推出越小，即越大越小即原函数单调减区间为，．证明同上．（2）函数的值域为A．B．C．，D．，【解答】解：令单调递减即故选：．（3）当时，函数的值域为A．，B．，C．，D．，【解答】解：，设，，，则函数等价为，，，即函数的值域为，．故选：．例5.已知定义域为的函数是奇函数．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断并用定义法证明函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）是上的奇函数，，则，解得，的解析式为；（Ⅱ），是上的减函数；证明如下：在上任取，则；，，，，；即；上的减函数．例6.已知定义域为的函数是奇函数．（1）求，的值；（2）若在上是增函数，求不等式的解集．【解答】（本小题满分12分）解：（1）定义域为的函数是奇函数，由题意知函数为定义在上的奇函数可知，解得由（1），知，解得．（2）由在上是增函数且为奇函数，即，则有，解得，不等式的解集为．例7.已知函数是上的奇函数．（1）求的值；（2）证明：函数是上的增函数；（3）是否存在使对任意，均成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数是上的奇函数．，解得．证明：（2）由（1）知，定义域为，在上任取，，令，，，，，，函数是上的增函数．解：（3）假设存在使对任意，均成立，在上既是奇函数，又是增函数，对任意，均成立，，即，，解得．的取值范围是，．课后作业：1.已知，则A．B．C．D．【解答】解：，，，，，，故选：．2．．【解答】解：．故答案为：．3．已知，则7；．【解答】解：，，，，．故答案为：．4．如果函数在区间，上的最大值是14，则实数的值为．【解答】解：设，则函数等价为，对称轴为，若，则，此时函数的最大值为（a），即，即或，即或（舍，若，则，此时函数的最大值为，即，即或，即或（舍，解得，综上3或；故答案为：3或；5．求函数的定义域、值域和单调区间．【解答】解：函数的定义域为；令，则，，，，，即函数的值域为，，在，上为增函数，在，上为减函数，为减函数，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，6．已知．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明是定义域内的增函数；（3）求的值域．【解答】（1），为奇函数（2）在上任取，，且，而在上为增函数，，即在上为增函数．（3），而，即，．所以的值域是．