专题12三角函数基本概念与诱导公式模块一：任意角与弧度制1．角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点（顶点）从一个位置（始边）旋转到另一个位置（终边）所成的图形．⑵角按其旋转方向可分为：正角（逆时针旋转），零角（没有旋转），负角（顺时针旋转）．⑶在直角坐标系中讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，①角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．⑷终边相同的角的集合所有与终边相同的角构成的集合．2．弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周等分，其中份所对的圆心角是度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制．⑵弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角．规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．任一已知角的弧度数的绝对值，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制．⑶弧度与角度的换算：，．3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.考点1：任意角与弧度制例1.（1）已知第一象限角，锐角，小于的角，那么、、x{|360}SkkZ，3601111lr180πrad1801rad57.305718πrl||2||2121rrlS关系是A．B．C．D．【解答】解解：第一象限角，；锐角，小于的角，故选：．（2）时针走过2时40分，则分针转过的角度是A．B．C．D．【解答】解：，，由于时针都是顺时针旋转，时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为，故选：．（3）有下列说法：①与角的终边方向相反；②与角的终边相同；③与角的终边相同；④设，，，，则．其中所有正确说法的序号是A．①③B．②③C．③④D．①③④【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、与角夹角为，其终边方向不相反，故①错误，对于②、，故两个角不是终边相同的角，故②错误，对于③、，为终边在轴负半轴上的角，而，也表示终边在轴负半轴上的角，故与角的终边相同，③正确；对于④、，中，当为偶数时，，故有，④正确；综合可得：③④正确；故选：．例2.（1）下列各式不正确的是A．B．C．D．【解答】解：对于，，正确；对于，，正确；对于，，错误；对于，，正确；故选：．（2）下列角位于第三象限的是A．B．C．D．【解答】解：，属于第三象限角，故角位于第三象限，故选：．（3）已知集合，，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是A．B．C．D．【解答】解：集合，，表示第一象限的角，故选：．例3.（1）在第四象限，则所在的象限为A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：在第四象限，，；，；当为偶数时，为第二象限角，当为奇数时，为第四象限角；角所在的象限为第二或第四象限．故选：．（2）已知锐角，那么是A．小于的正角B．第一象限角C．第二象限角D．第一或二象限角【解答】解：锐角，，，故选：．考点2：弧度公式和扇形面积公式例4.（1）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为A．B．C．D．5【解答】解：扇形的弧长等于，所以圆锥的底面周长为，底面半径为1，圆锥的高为．故选：．（2）已知扇形的周长是，面积是，试求扇形的圆心角的弧度数A．1B．4C．1或4D．1或2【解答】解：设扇形的圆心角为，半径为，则，解得或．故选：．（3）已知扇形的周长是，（Ⅰ）若其面积是，求扇形的圆心角的弧度数；（Ⅱ）求扇形的最大面积及此时弦长．【解答】解：（Ⅰ）设扇形的弧长为：，半径为，则，，解得：，，或，，，时，扇形的圆心角的弧度数是：．，时，扇形的圆心角的弧度数是：．（Ⅱ）设弧长为，半径为，由已知，所以，，从而，当时，最大值为225，这时圆心角，可得：．模块二：三角函数定义1．三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么⑴比值叫做的正弦，记作，即；⑵比值叫做的余弦，记作，即；⑶比值叫做的正切，记作，即．2．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知（如下表）：①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（...
