专题07函数单调性模块一：函数单调性1．一般地，设函数的定义域为，区间：⑴增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数；⑵减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数；2．单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间．3．判断函数单调性的基本方法：⑴定义法：任取，，判断的正负；⑵图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；⑶复合函数的单调性——同增异减．考点1：具体函数单调性判断与证明例1.（1）下列函数中，在上为增函数的是A．B．C．D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符()yfxDIDI12xx，12xx12()()fxfx()fxII12xx，12xx12()()fxfx()fxI()yfxI()yfxI()yfx12xx，12xx12()()fxfx合题意；故选：．（2）已知函数．（1）求的定义域、值域利单调区间；（2）判断并证明函数在区间上的单调性．【解答】解：（1）由，得，所以的定义域为，，，由，得的值域为，，，的单调递减区间为和（2）在上是减函数，证明如下：，，，，在上是减函数．（3）试讨论函数，的单调性（其中．【解答】解：设，，且，则：；（3分）；，，，，；；（6分）时，；在上为减函数；（12分）考点2：抽象函数单调性判断与证明例2.1）定义在的函数满足对于任意的，，，当时，，其中（3）．（1）判断函数的单调性并证明；（2）解不等式．【解答】（1）在上是增函数．证明：对任意，有，，设，则，则，当时，，当时，，即，则．即在上是增函数．（2）（3），（3）（3）（6），即（6），（3）（6）（9）（9），即不等式等价为（9），在上是增函数．不等式等价为即，得或，即不等式的解集为，，．2.已知函数满足对任意的，，有．（1）求（1），的值；（2）若函数在其定义域上是增函数，（2），，求的取值范围．【解答】解：（1）令，则（1）（1）（1），所以（1），又令，则，所以，（2）因为（4）（2）（2），所以（8）（2）（4），因为，所以（8），因为在上是增函数所以，即，所以，所以不等式的解集为．3）设定义在上的函数，对于任意正实数、，都有（a）（b），（2），且当时，．（1）求（1）及的值；（2）求证：在上是减函数．【解答】解：（1）令得（1）（1）（1），得（1），（2），（2）（1），则，得（2）证明：设，可得，可得，由，可得函数在上是减函数．考点3：已知单调性反求参例3.（1）已知函数是，上的增函数，则的取值范围为A．，B．，C．，D．，【解答】解：根据题意，函数为开口向上的二次函数，其对称轴为，若函数是，上的增函数，则必有，即的取值范围为，；故选：．（2）已知在，上是单调函数，则实数的取值范围为．【解答】解：根据题意，为二次函数，其对称轴为，若在，上是单调函数，则有或，解可得或，即的取值范围为或；故答案为：或．（3）若函数在上是单调递增函数，则取值范围是A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数，分2种情况讨论：①，当时，，在上为增函数，符合题意；②，当时，函数为二次函数，其对称轴为，若函数在上是单调递增函数，则有，解可得；综合可得：的取值范围为，；故选：．例4.（1）设函数，其中为常数，若函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围．【解答】设，则，，，若使在上是减函数，只要，而，所以当，即时，有，所以，当时，在定义域内是单调减函数，即所求实数的取值范围是．（2）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是A．，B．C．，D．，【解答】解：由题意，在上是减函数，时，其过定点，且时是减函数，对称轴，①又时，，是减函数，函数是上的减函数，，②又①②得．故选：．（3）已知函数．若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【解答】解：若函数在上单调递增，则，解得，．例5.（1）若函数是定义在，上的减函数，且，则实数的取值范围是A．B...
