第3讲因式分解1．因式分解：把一个多项式化成几个__整式积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆运算．2．基本方法：(1)提取公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．提公因式法常用的变形：a－b＝－(b－a)，(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．【注意】因式分解专指多项式的恒等变形；因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；因式分解要完全、彻底．因式分解与整式乘法是互逆运算．1．(2013·河北)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)(D)2．(2013·张家界)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋9(D)3．(2013·金华、丽水)分解因式：x2－2x＝．4．(2013·宁波)分解因式：x2－4＝．5．(2013·绍兴)分解因式：x2－y2＝．__x(x－2)____(x＋2)(x－2)____(x＋y)(x－y)__3．因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称分解彻底．【问题】给出三个多项式：12x2＋x－1，12x2＋3x＋1，12x2－x.(1)请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．(2)结合以上解题的体验，回答因式分解有哪些方法，一般步骤怎样？【解析】(1)(12x2＋x－1)＋(12x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(12x2＋x－1)＋(12x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(12x2＋3x＋1)＋(12x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步骤：一提、二套、三查．【归纳】复习运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．类型一因式分解的意义例1(2012·温州)把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是()A．a(a－4)B．(a＋2)(a－2)C．a(a＋2)(a－2)D．(a－2)2－4【思路分析】观察代数式特点，用提公因式法因式分解，结果是不是积的形式．【答案】直接提取公因式a即可：a2－4a＝a(a－4)．故选A.【解后感悟】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解．1．(2012·安徽)下面的多项式中，能因式分解的是A．m2＋nB．m2－m＋1C．m2－nD．m2－2m＋1(D)2．(2013·株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝____，n＝______．【答案】 (x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n，∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n.∴n＋5＝m，5n＝5，∴n＝1，m＝6.故答案为6，1.类型二因式分解的几何性例2(2011•包头)如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________________．【思路分析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为a2－b2；图2中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)． 两图形阴影面积相等，∴可以得到的结论是a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【答案】a2－b2＝(a＋b)(a－b)．【解后感悟】利用图形的面积来解释代数式的恒等变形，这是数形结合思想的应用，是我们学习过程中，常见的列等量关系的依据．3．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式．__a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2__类型三因式分解的方法例3(2013·湖州)因式分解：mx2－my2.【思路分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【答案】mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)．【解后感悟】本题是用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．4．因式分解：(1)(2013·北京)ab2－4ab＋4a＝.(2)(2013·舟山)ab2－a＝．(4)(x－1)2－9＝．__a(b－2)2____a(b＋1)(b－1)____(x－1＋3)(x－1－3)＝(x＋2...
