等比数列第一课时　等比数列的概念与通项公式VIP免费

数学2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念,深化认识并能运用.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.课标要求数学知识梳理1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母q表示(q≠0).2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G2=ab.3.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),填表:递推公式通项公式1nnaa=q(n≥2)an=2同一常数公比等比数列a1qn-1数学自我检测1.(等比数列的定义)下面有四个结论:①由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列;②常数列b,…,b一定为等比数列;③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等;④等比数列中,各项与公比都不能为零.其中正确的结论的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3C解析:①错误,当乘以的常数为零时,不是等比数列;②错误,b=0时,不是等比数列;③④正确,故选C.数学C解析:设其等比中项为G,则G2=(2+3)(2-3)=1.所以G=±1.故选C.2.(等比中项)2+3和2-3的等比中项是()(A)1(B)-1(C)±1(D)2数学D解析:an=a1qn-1=4×3n-1.故选D.3.(等比数列的通项)在等比数列{an}中,a1=4,公比q=3,则通项公式an等于()(A)3n(B)4n(C)3·4n-1(D)4·3n-14.(等比数列的公比)在等比数列{an}中,a1=2,a5=162,则数列{an}的公比q=.解析:因为a5=a1q4,所以162=2q4,所以q4=81,所以q=±3.答案:±3数学解析:由条件知52aa=q3=8,所以q=2,所以a1=2aq=3,所以a8=a1q7=3×27=384.答案:3845.(等比数列通项公式的应用)在等比数列{an}中,a2=6,a5=48,则a8=.数学课堂探究等比数列的判断与证明题型一证明:(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=2nnSn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,所以11nSn=2nSn.故{nSn}是以2为公比的等比数列.【例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=2nnSn(n=1,2,3,…).证明:(1)数列{nSn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.数学(2)由(1)知11nSn=4·11nSn(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·11nSn=4an(n≥2).又因为a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数n都有Sn+1=4an.数学题后反思判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法:1nnaa=q(q是常数)或1nnaa=q(q是常数,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:21na=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1、q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.数学即时训练11:已知a1=1,an+1=2Sn+1.试判断数列{an}是否为等比数列?并证明.解:数列{an}是等比数列.证明:因为an+1=2Sn+1,所以an=2Sn-1+1(n≥2).两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),又a2=2S1+1=3,a1=1,所以a2=3a1.所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列.数学等比数列的通项公式及其应用题型二【教师备用】1.等比数列与指数函数有什么关系?提示:等比数列的通项公式可整理为an=1aqqn.当q>0,且q≠1时,y=1aqqx是一个不为零的常数1aq与指数函数qx的乘积,表示数列an=1aq·qn的点(n,1aqqn)是函数y=1aqqx图象上的孤立的点.如图,表示(n,1aq·qn)的各点都在函数y=2x-1的图象上.数学2.能不能利用等比数列的通项公式判断其单调性?提示:10,1aq或10,01aq⇔{an}递增;10,01aq或10,1aq⇔{an}递减;q=1⇔{an}为常数列;q<0⇔{an}为摆动数列.数学解:(1)因为341671,,aaqaaq所以31612,8,aqaq①②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=32q=12,所以an=a1qn-1=2532n.【例2】在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.数学(2)法一由已知可得4251125361118,9,aaaqaqaaaqaq③④由④③得q=12,从而a1=32.又an=1,所以32×(12)n-1=1,即26-n=20,所以n=6.法二因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=12.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.数学题后反思等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1中含有四个量...