数学第二课时等差数列的性质及简单应用数学自主预习课堂探究数学自主预习1.能根据等差数列的定义与通项公式,推导出等差数列的重要性质.2.能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题.3.能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题.课标要求数学知识梳理等差数列的常见性质(1)对称性:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=am+(n>m);(2)an=a1+(n-1)d=a2+(n-2)d=…=am+;(3)若m,n,p,q均为正整数,则m+n=p+q=2k⇒;(4)若m,p,n均为正整数且m,p,n成等差数列,则am,ap,an也成等差数列;an-m+1(n-m)dam+an=ap+aq=2ak数学(5)若{an}、{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列结论{c+an}公差为的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为的等差数列(c为任一常数){an+an+k}公差为的等差数列(k为常数,k∈N*){pan+qbn}公差为的等差数列(p,q为常数)(6)单调性:{an}的公差为d,则d0{a⇔n}为递增数列;d0{a⇔n}为递减数列;d=0{a⇔n}为常数列.dcd2dpd+qd'><数学自我检测C1.(由等差数列判定其他的数列)若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①{|an|}②{an+1-an}③{pan+q}(p,q为常数)④{2an+n}(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.(等差数列性质的应用)设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5等于()(A)30(B)35(C)40(D)45B数学A3.(等差数列性质的应用)已知等差数列{an}中,a3=1,a7=-9,则a5等于()(A)-4(B)4(C)-8(D)8解析:由a3+a7=2a5=1-9=-8得a5=-4.故选A.4.(等差数列性质的应用)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()(A)-1(B)1(C)3(D)7解析:因为a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,d=-2.所以a20=a4+16d=33-32=1.B数学5.(等差数列单调性的应用)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,则这三个数为.解析:设这三个数为a-d,a,a+d,由已知得22218116adaadadaad①②由①得a=6,代入②得d=±2.因为该数列是递增数列,所以d>0,即d=2.所以这三个数依次为4,6,8.答案:4,6,8数学课堂探究等差数列性质的应用题型一解析:(1)因为7+21=14+14,所以a7+a21=2a14,所以a21=2a14-a7=2n-m.【例1】等差数列{an}中:(1)若a7=m,a14=n,则a21=;(2)若a1+a3+a5=-1,则a1+a2+a3+a4+a5=;(3)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,且a4>a2,则a5=.(2)因为a1+a3+a5=(a1+a5)+a3=2a3+a3=3a3=-1,所以a3=-13,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5×（-13）=-53.数学(3)因为a2+a3+a4+a5=34且a3+a4=a2+a5,所以2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17,又a2·a5=52,所以25413aa或2513,4.aa又因为a4>a2,所以a4-a2=2d>0,所以d>0,所以a5>a2,所以a5=13.答案:(1)2n-m(2)-53(3)13数学题后反思求解等差数列有关计算问题的常用方法:一是基本量方法,即建立关于a1和d的方程组求出a1和d再解决问题;二是运用等差数列的性质,若m+n=p+q=2k,且m,n,p,q,k∈N*,则am+an=ap+aq=2ak.数学即时训练11:(1)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7等于()(A)14(B)21(C)28(D)35(2)已知{an}、{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为()(A)-6(B)6(C)0(D)10解析:(1)因为a3+a4+a5=12,所以3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=28.故选C.(2)由于{an}、{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.故选B.数学【思维激活】(2013高考上海卷)在等差数列{an}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=.解析:由等差数列的性质得a1+a4=a2+a3,又a1+a2+a3+a4=30,所以2(a2+a3)=30,即a2+a3=15.答案:15数学巧用“对称”解等差数列问题题型二【例2】已知四个数成递减等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.解:法一设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意得1111112326,240,aadadadadad化简,得122114626,3240,adaadd解得12,3ad(舍去)或111,3.ad所以这四个数分别为11,8,5,2.数学法二设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意得3326,40,adadadadadad...
