近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力
特别值得一提的是,高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高,它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性
“放缩法”它可以和很多知识内容结合,对应变能力有较高的要求
因为放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察,放缩时要注意适度,否则就不能同向传递
下面结合一些高考试题,例谈“放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助
1、添加或舍弃一些正项(或负项)若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小
由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的
本题在放缩时就舍去了,从而是使和式得到化简
2、先放缩再求和(或先求和再放缩)此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和
若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式
如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可
3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标
4、放大或缩小“因式”;5、逐项放大或缩小6、固定一部分项,放缩另外的项;此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处
7、利用基本不等式放缩本题通过化简整理之后,再利用基本不等式由放大即可
8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略,解题的关键在