专题三导数及其应用目录CONTENTS考点一导数的概念、计算及定积分1考点二导数的应用2考点一导数的概念、计算及定积分必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力1．导数的定义导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运算法则与某些导数的公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下两点：(1)Δx是自变量x在x0处的增量(或改变量)．导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．(2)函数y＝f(x)应在x0的附近有意义，否则函数f(x)在该点的导数不存在．若极限不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．考点一导数的概念、计算及定积分必备知识全面把握2．导数的几何意义曲线y＝f(x)上任意一点(x0，f(x0))处的切线的斜率k是f(x)在x0处的导数，即利用导数求曲线y＝f(x)在其上任意一点P(x0，f(x0))处的切线方程，具体求法分两步：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，即为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标P(x0，y0)和切线斜率f′(x0)的条件下，求得切线方程y-y0=f’x0（x-x0）考点一导数的概念、计算及定积分曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在，则切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)“过”点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能不止一条．考点一导数的概念、计算及定积分3．导数的运算公式(1）基本初等函数的导数公式考点一导数的概念、计算及定积分(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数．(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：(cos2x)′＝－sin2x，实际上应是(cos2x)′＝－2sin2x.考点一导数的概念、计算及定积分5．定积分(1)微积分基本定理(牛顿－莱布尼茨公式)∫abf(x)dx＝F(b)－F(a)＝F(x)|ab，其中，F′(x)＝f(x)，f(x)是[a，b]上的连续函数．(2)定积分的性质④当积分区间关于原点对称，在求定积分时，可利用被积函数的奇偶性来求解．考点一导数的概念、计算及定积分(3)与基本初等函数有关的常见定积分考点一导数的概念、计算及定积分6．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫abf(x)dx表示由曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积(如图(1))；若f(x)≤0，则由曲线y＝f(x)及x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分∫abf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；若f(x)的值可正可负，则曲线y＝f(x)的某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴下方，如果我们将在x轴上方的图形的面积赋予正号，在x轴下方的图形面积赋予负号，那么在一般情况下，定积分∫abf(x)dx的几何意义是曲线y=f（x）和直线x=a，x=b（a≠b）y=0所围成的各部分图形面积的代数和，如图（2）：考点一导数的概念、计算及定积分注意：图(1)中∫abf(x)dx等于a，b间曲边梯形面积的值．图(2)中等于c，d间曲边梯形的面积值的相反数．方法1导数的运算1．用函数的求导公式求导常见求导函数的形式(1)连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导．(2)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(3)分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)对数形式：先化为和、差形式，再求导．核心方法重点突破考点一导数的概念、计算及定积分考点一导数的概念、计算及定积分例1、求下列函数的导数：(1)y＝x(x＋1)(x＋2)；(2)y＝tanx；【解】(1) y＝x3＋3x2＋2x，∴y′＝3x2＋6x＋2.考点一导数的概念、计算及定积分例1、求下列函数的导数：(1)y＝x(x＋1)(x＋2)；(2)y＝tanx；例2、等比数列{...
