空间向量与空间角VIP免费

立体几何中的向量方法第3课时—空间向量与空间角123(,,)aaaa1.若，123(,,),bbbb则：数量积：ab112233ababab夹角公式：cosab111222(,,),(,,)AxyzBxyz2.若，则：212121(,,)xxyyzzAB�||||abab112233222222123123abababaaabbb||||cos,abab异面直线所成角的范围：0,2ABCD1D,CDAB�与的关系？思考：,DCAB�与的关系？结论：coscos,CDAB�||题型一：线线角例1：090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF�111(,,1)22BD�11cos,AFBD�1111||||AFBDAFBD��113041053421BD1AF3010题型一：线线角【练习1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置.解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，设E(1，t，0)(0≤t≤2)，则D1A→＝(1，0，－1)，CE→＝(1，t－2，0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝2×1＋（t－2）2·cos60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点.直线与平面所成角的范围：[0,]2ABO,nBA��与的关系？思考：n结论：sincos,nAB��||题型二：线面角例2：题型二：线面角在长方体中，1111ABCDABCD58,ABAD=，14,AA1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyzADANM（2）求与平面所成的角的正弦值.【练习2】1111ABCDABCD的棱长为1.111.BCABC求与面所成的角的正弦值题型二：线面角正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角二面角的范围：[0,]1n�2n�2n�1n�cos12|cos,|nn�cos12|cos,|nn�ABO关键：观察二面角的范围题型三：二面角,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例3如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz方向1直接求二面角的余弦值,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0例3如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,,0),(0,,1)22CDSD�C(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD��易知面的法向量设平面2(,,),SCDnxyz�的法向量22,,nCDnSD�由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n�任取1212126cos,3||||nnnnnn���63即所求二面角得余弦值是1.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxy【练习3】解:建立坐标系如图,则A(0,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,求二面角A-PB-C的余弦值.zxyAP�=(0,0,1),(2,1,0),AB�(2,0,0),CB�(0,1,1)CP�,∴(,,)(0,0,1)0(,,)(2,1,0)0xyzxyz∴20yxz,令x=1,则m�=(1,2,0),设平面PAB的法向量为m�=(x,y,z),则00mAPmAB��设平面PBC的法向量为(,,)nxyz,(,,)(2,0,0)0(,,)(0,1,1)0xyzxyz∴0xyz令1,y(0,1,1)n∴cos3,||||3mnmnmn, 二面角为锐角∴二面角A-PB-C的余弦值为33则00nCBnCP����练习3:2.正三棱柱中，D是AC的中点,当时，求二面角的余弦值.111ABCABC11ABBC1DBCCCADBC1B1A122方向2二面角中的探究性问题例4在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，...