第1页共29页不等式中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一基本不等式与函数相结合的最值问题例题1若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【解析】因为两个不等的实根是和，不妨令，故可得，解得，则=，故选：C.【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.例题2的最小值为（）A．2B．16C．8D．12【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.第2页共29页【解析】 ，∴，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.例题3已知函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为________．【解析】由题意可知函数y＝logax＋1的图象恒过定点A(1,1)， 点A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4， m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)＝≥＝1，当且仅当m＝n＝时等号成立，∴m＋n的最小值为1.题型二基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4已知满足约束条件，若目标函数的最大值为第3页共29页1（其中），则的最小值为（）A．3B．1C．2D．【分析】画出可行域，根据目标函数最大值求关系式，再利用不等式求得最小值.【解析】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第4页共29页题型三基本不等式与数列相结合的最值问题例题5已知递增等差数列中，，则的（）A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.第5页共29页例题6已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则的最小值为________．【解析】由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正数，故2ab≤2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以的最小值为.题型四基本不等式与向量相结合的最值问题例题7如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.第6页共29页【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根据条件：,,又,.又,,三点共线,.,,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.第7页共29页题型五基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题例题8在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．所以=，=(0，)，=(，-2).再由题意可知（+）•=0，即（，）•(，－2)=0．所以曲线C的方程式为．（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，因此直线的方程为，即．则点到的距离．又，所以第8页共29页当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．第9页共29页例题9在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且面积最大？若存在，求出点坐标及相对应的面积；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由，所以，设是椭圆上任意一点，则，∴，所以，当时，有最大值，可得，所以故椭圆的方程为：（Ⅱ）存在点满足要求，使得面积最大．假设直线与圆第10页共29页相交于不同两点,则圆心到的距离，∴①...
