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2021届全国高考专题复习不等式中最值问题全梳理VIP免费

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第1页共29页不等式中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一基本不等式与函数相结合的最值问题例题1若方程有两个不等的实根和,则的取值范围是()A.B.C.D.【分析】由方程可得两个实数根的关系,再利用不等式求解范围.【解析】因为两个不等的实根是和,不妨令,故可得,解得,则=,故选:C.【小结】本题考查对数函数的性质,涉及均值不等式的使用,属基础题.例题2的最小值为()A.2B.16C.8D.12【分析】利用将变为积为定值的形式后,根据基本不等式可求得最小值.第2页共29页【解析】 ,∴,当且仅当,时“=”成立,故的最小值为16.【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值,解题关键是变形为积为定值,才能用基本不等式求最值,属于基础题.例题3已知函数y=logax+1(a>0且a≠1)图象恒过定点A,若点A在直线+-4=0(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为________.【解析】由题意可知函数y=logax+1的图象恒过定点A(1,1), 点A在直线+-4=0上,∴+=4, m>0,n>0,∴m+n=(m+n)=≥=1,当且仅当m=n=时等号成立,∴m+n的最小值为1.题型二基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4已知满足约束条件,若目标函数的最大值为第3页共29页1(其中),则的最小值为()A.3B.1C.2D.【分析】画出可行域,根据目标函数最大值求关系式,再利用不等式求得最小值.【解析】画出可行域如下图所示,由于,所以基准直线的斜率为负数,故目标函数在点处取得最大值,即,所以.,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.故选:D【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数,考查基本不等式求最值,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.第4页共29页题型三基本不等式与数列相结合的最值问题例题5已知递增等差数列中,,则的()A.最大值为B.最小值为4C.最小值为D.最大值为4或【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为,由等差数列通项公式,设公差为,可得,变形可得因为数列为递增数列,所以,即,而由等差数列通项公式可知,由,结合基本不等式可得,当且仅当时取得等号,所以的最小值为4。【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.第5页共29页例题6已知a,b均为正数,且2是2a,b的等差中项,则的最小值为________.【解析】由于2是2a,b的等差中项,故2a+b=4,又a,b均为正数,故2ab≤2=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号,所以的最小值为.题型四基本不等式与向量相结合的最值问题例题7如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交,两边于,两点,且,,则的最小值为______.第6页共29页【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根据条件:,,又,.又,,三点共线,.,,.的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为:.【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.第7页共29页题型五基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题例题8在平面直角坐标系中,已知点,点在直线上,点满足,,点的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)为C上动点,为C在点处的切线,求点到距离的最小值.【解析】(Ⅰ)设,由已知得,.所以=,=(0,),=(,-2).再由题意可知(+)•=0,即(,)•(,-2)=0.所以曲线C的方程式为.(Ⅱ)设为曲线C:上一点,因为,所以的斜率为,因此直线的方程为,即.则点到的距离.又,所以第8页共29页当=0时取等号,所以点到距离的最小值为2.第9页共29页例题9在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆O:相交于不同的两点,且面积最大?若存在,求出点坐标及相对应的面积;若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)由,所以,设是椭圆上任意一点,则,∴,所以,当时,有最大值,可得,所以故椭圆的方程为:(Ⅱ)存在点满足要求,使得面积最大.假设直线与圆第10页共29页相交于不同两点,则圆心到的距离,∴①...

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