高考真题突破：数学归纳法VIP免费

专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法解答题1．（2017浙江）已知数列{xn}满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN)．证明：当nN时（Ⅰ）0xn1xn；（Ⅱ）2xn1xn≤**xnxn1；211（Ⅲ）n1≤xn≤n2．2212．(2015湖北)已知数列{an}的各项均为正数，bnn(1)nan(nN)，e为自然对数的n底数．1（Ⅰ）求函数f(x)1xex的单调区间，并比较(1)n与e的大小；n（Ⅱ）计算bbbbbb1bb，12，123，由此推测计算12a1a2a3a1a2a1a1a21nbn的公式，并给出证明；an（Ⅲ）令cn(a1a2an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明：TneSn．sinx(x0)3．(2014江苏)已知函数f0(x)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN．x（Ⅰ）求2f1f2的值；222（2）证明：对任意的nN，等式nfn1fn2成立．44424．（2014安徽）设实数c0，整数p1，nN*．（Ⅰ）证明：当x1且x0时，(1x)1px；（Ⅱ）数列an满足a1c，an11p1ppp1c1panan，pp证明：anan1c5．（2014重庆）设a1．21,an1an2an2b(nN*)1/11（Ⅰ）若b1，求a2,a3及数列{an}的通项公式；*（Ⅱ）若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN成立？证明你的结论．6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数f(x)rxx(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设a10,a20，b1,b2为正有理数.若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．．．．．．注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.37．（2011湖南）已知函数f(x)x，g(x)xrx.（Ⅰ）求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；*（Ⅱ）设数列{an}（nN）满足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有an≤M．专题十三推理与证明第三十九讲数学归纳法答案部分1．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn0当n1时，x110假设nk时，xk0，那么nk1时，若xk1≤0，则0xkxk1ln(1xk1)≤0，矛盾，故xk10．*因此xn0(nN)所以xnxn1ln(1xn1)xn1*因此0xn1xn(nN)（Ⅱ）由xnxn1ln(1xn1)xn1得2/112xnxn14xn12xnxn12xn1(xn12)ln(1xn1)2记函数f(x)x2x(x2)ln(1x)(x≥0)函数f(x)在[0,)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，因此xn12xn1(xn12)ln(1xn1)f(xn1)≥0故2xn1xn≤（Ⅲ）因为2xnxn1(nN)2xnxn1ln(1xn1)≤xn1xn12xn1所以xn≥由1得2n1xnxn1≥2xn1xn得21111≥2()0xn12xn2所以111111≥2()≥≥2n1()2n2xn2xn12x12故xn≤1n2211综上，n1≤xn≤n2(nN)．222．【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(,)，f(x)1ex．当f(x)0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0，即x0时，f(x)单调递减．故f(x)的单调递增区间为(,0)，单调递减区间为(0,)．当x0时，f(x)f(0)0，即1xex．1111令x，得1en，即(1)ne．①nnn（Ⅱ）bbbbb1111(1)1112；121222(1)2(21)232；a1a2a1a22a11b1b2b3b1b2b31323(1)3(31)343．a1a2a3a1a2a33由此推测：b1b2a1a2bn(n1)n．②an3/11下面用数学归纳法证明②．（1）当n1时，左边右边2，②成立．（2）假设当nk时，②成立，即b1b2a1a2bk(k1)k．ak当nk1时，bk1(k1)(1b1b2a1a2bkbk1b1b2akak1a1a21k1)ak1，由归纳假设可得k1bkbk11k1(k1)k(k1)(1)(k2)k1．akak1k1所以当nk1时，②也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．（Ⅲ）由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得Tnc1c2c3cn(a1)(a1a2)(a1a2a3)13111213(a1a2an)1n(bbb)(b1)(bb)12123234b1bbbbb1212312233411...