空间向量的数量积运算 ()VIP专享VIP免费

3.1.3空间向量的数量积运算回顾引入平面向量夹角数量积定义数量积的几何意义数量积的性质数量积的运算律数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积为非零向量，为单位向量①②③①②③已知两个非零向量，在平面中任取一点，，则角叫做向量的夹角，记作：,,,,,,,,已知两个非零向量在空间任取一点作则叫做向量的夹角记作abOOAaOBbAOBabab�OABaabb(1)向量的夹角：0,ab1.空间向量的夹角(2),,＝abba(3),2如果，则称与垂直，记作ababababB类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?B1如图11AB�是b在a方向上的射影向量.AA12.空间向量数量积的定义cos,ababab0,ab注意:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已知空间两个非零向量,则叫做的数量积，记作,即,abcos,ababab,ab显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:（1）cos,aeaae；（2）0;abab（3）2aaa也就是说2aa；3.空间两个向量的数量积性质求向量的长度（模）求向量的长度（模）证明两向量垂直bababa，）（cos5；）（baba44、空间向量数量积的运算律：(1)()()(2)()(3)()()交换律分配律abababbaabcabac注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。积满足结合律吗？也就是说，向量的数量成立吗？，、、）对于向量（)()(3cbacbacba吗？，能得到）由（cbcaba1？也就是说向量有除法吗）？（或，能否写成，若、）对于向量（akbbkakbaba2不满足结合律。不成立，向量的数量积不能，向量没有除法。。，而未必有都垂直时，有、与向量不能，如向量cbcabacba5、空间向量数量积可以解决的立体几何问题：（3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；（2）证明垂直问题；（1）线段的长（两点间的距离）；cos,ababab0;abab2aaa2aa，也就是说(,)ab是非零向量4.3.2.1.231DCBAbaqpqpbqpa）（则，是相互垂直的单位向量和，，、已知的模是则向量，，，，且，，，，、设cbacbacbcaba321632bababa，，则，，、已知3233跟踪训练在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则OG→·(OA→＋OB→＋OC→)＝________.例2、已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC..21DCBCADCAOAOOCDDCDCBAABCD平面）（；）（，求证：，连接点相交于与，正方体跟踪训练：如图，已知AODCBCDBA