高三数学试卷（第Ⅰ卷）2015．1注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．记复数（i为虚数单位）的共轭复数为R)，已知，则=▲．2．设全集，集合，，则=▲．3．某校共有师生1600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为▲．4．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是▲．5．已知向量a，b，ab，则▲．6．执行如图流程图，若输入,,则输出的值为▲.7．设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若∥则∥；②若∥∥则∥；③若∥则∥；④若则；其中正确命题的序号为▲．8．设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a，b，则向量a，b的夹角为锐角的概率是▲．高三数学试卷（第Ⅰ卷）第1页（共4页）（第6题图）9．设等比数列的前n项和为，若，则▲．10．已知直线过点且与圆相交于两点，△ABC的面积为，则直线的方程为▲．11．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是▲．12．若函数为定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为▲．13．曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为▲．14．已知正数满足，则的最小值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知△的面积为，且．（1）求；（2）若，，求．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知△是正三角形，⊥平面，，为的中点，在棱上，且．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）若为中点，在棱上，且，求证：∥平面．17．（本小题满分14分）高三数学试卷（第Ⅰ卷）第2页（共4页）ECBDAFNM（第16题图）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛附近．现派出四艘搜救船,，为方便联络，船始终在以小岛O为圆心，100海里为半径的圆周上，船,构成正方形编队展开搜索，小岛在正方形编队外（如图）．设小岛O到的距离为，，D船到小岛O的距离为.（1）请分别求关于的函数关系式，；并分别写出定义域；（2）当两艘船之间的距离是多少时？搜救范围最大（即最大）．18．（本小题满分16分）已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦的斜率均存在，求△面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数，实数满足，设，.高三数学试卷（第Ⅰ卷）第3页（共4页）（第18题图）y（第17题图）（1）当函数的定义域为时，求的值域；（2）求函数关系式，并求函数的定义域；（3）求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列中，，在之间插入1个数，在之间插入2个数，在之间插入3个数，．．．在,之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列．（1）若，求的通项公式；（2）设的前项和为，且满足（为常数），求的通项公式．高三数学试卷（第Ⅰ卷）第4页（共4页）
