5.1平面向量的概念及线性运算第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊1.向量的有关概念名称定义备注向量既有,又有的量叫作向量;向量的大小叫作向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量叫作零向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±𝑎|𝑎|平行向量方向或的非零向量零向量与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫作共线向量大小方向长度模01个单位相同相反方向相同或相反平行第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊名称定义备注相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量零向量的相反向量仍是零向量相等相同相等相反第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=(2)结合律:(a+b)+c=减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差a-b=a+(-b)b+aa+(b+c)第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向;当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ=0时,λa=0λ(μa)=;(λ+μ)a=;λ(a+b)=|λ||a|相同相反λμaλa+μaλa+λb第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊3.向量共线定理(1)向量b与a(a≠0)共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得.注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(1-λ)𝑂𝐴ሬሬሬሬሬԦ+λ𝑂𝐵ሬሬሬሬሬԦ.b=λa第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自诊1.P为线段AB的中点⇔OPሬሬሬሬሬԦ=12(OAሬሬሬሬሬԦ+OBሬሬሬሬሬԦ).2.若G为△ABC的重心,则有(1)GAሬሬሬሬሬԦ+GBሬሬሬሬሬԦ+GCሬሬሬሬሬԦ=0;(2)AGሬሬሬሬሬԦ=13(ABሬሬሬሬሬԦ+ACሬሬሬሬሬԦ).3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量OPሬሬሬሬሬԦ,OPሬሬሬሬሬԦ1,OPሬሬሬሬሬԦ2(O与P1P2不共线),总有OPሬሬሬሬሬԦ=uOPሬሬሬሬሬԦ1+vOPሬሬሬሬሬԦ2,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.5.对于任意两个向量a,b,都有:(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|;(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(2)𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ+𝐵𝐶ሬሬሬሬሬԦ+𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ=𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(4)若向量𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ与向量𝐶𝐷ሬሬሬሬሬԦ是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.()×√×××第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-9-知识梳理考点自诊2.(2019河南开封一中期中)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.|a|=|b|B.a∥bC.a=bD.a⊥bD解析:解法一:在▱ABCD中,设𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=a,𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=b,∴𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=a+b,𝐷𝐵ሬሬሬሬሬሬԦ=a-b, |a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选D.解法二:由|a+b|=|a-b|,等号两边平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.又a,b为非零向量,故a⊥b,故选D.第五章5.1平面向量的概念及线性运算必备知识关键能力必备知识-10-知识梳理考点自诊3.(2019山西平遥中学期末)在△ABC中,𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=c,𝐴𝐶ሬሬሬሬሬԦ=b,若点D满足𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ=2𝐷𝐶ሬሬሬሬሬԦ,则𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ等于()A.23b+13cB.53c-23bC.23b-13cD.13b+23cA解析: 𝐵𝐷ሬሬሬሬሬሬԦ=...
