空间向量的数量积运算VIP免费

3.1.3空间向量的数量积运算平面向量数量积的相关知识复习：平面向量的夹角：AOBAB叫做向量a与b的夹角。已知两个非零向量a和b，在平面上取一点O，作OA=a,OB=b,则AOB平面向量的数量积的定义：平面向量的数量积已知两个非零向量a,b，则|a||b|cos叫做向量a,b的数量积，记作ba即cos||||baba并规定00a你能类比平面向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律推导出空间向量的数量积的有关概念、计算方法和运算律概念1）两个向量的夹角的定义abbaba,,,0＝被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,OABaabb2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,,,cos,,,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设3)空间向量的数量积性质aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量，有：对于非零向量，有：,ab4)空间向量的数量积满足的运算律注意：分配律））交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律)()cbacba（思考1.下列命题成立吗?①若,则②若,则③abacbckababk()()abcabc2.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.135法一:发现22222()ababab��代入求得.3.已知向量,ab��满足1,2,3abab��,则ab��_____.1法二:由2222abaabb��代入求得ab��=-2.∴2222abaabb��得ab��1法三:数形结合法,发现形的特殊性.4.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆解： CDBDBC�，∴ABCDABBDABBC�||||cos,ABBDABBD�||||cos,ABBCABBC�223cos15023cos120633∴31cos,232||||ABCDABCDABCD���，∴AB与CD的夹角的余弦值为12．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,150ABBD�易错写成,30ABBD�，注意推敲！ADFCBE5.11(2)(3)(4)ABCDEFABADEFBAEFBDEFDCEFAC�如图：已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点、分别是、的中点。计算：（）应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.典型例题例1在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAla分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！证明：如图,已知:,,,POAOllOA射影且求证：lPA在直线l上取向量,只要证a0aPA��()0aPAaPOOAaPOaOA����,aPAl��即PA.为POAla0,0aPOaOA��三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.逆命题成立吗?反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和...