《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题11（2008）、已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，，都有成立
若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由
解：存在满足条件的二次函数
因为，所以，当自变量x取任意实数时，均成立
由已知，二次函数的图象经过点（－5,2），得25①当时，有，由于对于自变量取任实数时，均成立，所以有2≤≤2，故②由①，②，得，，所以……5分当时，有，即所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以当时，有，即，所以，二次函数对于一切实数x，函数值大于或等于零，故即所以综上，所以，存在二次函数，在实数范围内，对于x的同一个值，都有成立
……………15分11（2009）．函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧
若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线的右侧．………………5分设函数与x轴的两交点的横坐标为，则，当且仅当满足如下条件………………10分时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．由解之，得………………15分所以当时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧．………………20分12（2010）．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B
已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）
（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标
解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4
故双曲线的函数表达式为
设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有解得，
于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．
