选修4系列1．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径.（Ⅰ）求圆的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.【解析】（Ⅰ） 的直角坐标为，∴圆的直角坐标方程为.化为极坐标方程是．2．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．【解析】（1）因为的极坐标方程为,的极坐标方程为．（2）将代入,得，解得,因为的半径为，则的面积．3．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点的直角坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知曲线的参数方程可化简为，由直线的极坐标方程可得直角坐标方程为．（2）若点是曲线上任意一点，则可设，设其到直线的距离为，则．化简得，当，即时，．此时点的坐标为。4．已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线C截得的弦长．【解析】（I）曲线的参数方程为（为参数），曲线的普通方程为，曲线表示以为圆心，为半径的圆．将代入并化简得：，即曲线的极坐标方程为．（II）直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为弦长为．5．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经过伸缩变换，后的曲线为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线的极坐标方程为，且曲线与曲线相交于，两点，求的值．6．在平面直角坐标系中，圆的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为.（I）当时，判断直线与的关系；（II）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.【解析】（I）圆的普通方程为：，直线的直角坐标方程为：，圆心（1,1）到直线的距离为，所以直线与相交.（II）上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为，过圆心与平行的直线方程式为：，联立方程组解得故所求点为（2,0）和（0,2）7．建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），曲线的极坐标方程为，射线,,与曲线分别交于不同于极点的三点，，．（1）求证：；（2）当时，直线过，两点，求与的值．8．已知函数．（1）若，解不等式；（2）如果，，求的取值范围．【解析】（1）当时，，由，得．当时，不等式可化为，即，其解集为；当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；当时，不等式可化为，即，其解集为．综上得的解集为．（2）若，的最小值为；若，的最小值为．所以，，的取值范围是．9．已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若，使得，求实数的取值范围.10．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正数满足，求的最小值.【解析】（1）当时，；当时，．∴不等式等价于，或．∴，或．∴．∴原不等式的解集为（2）由（1），得，可知的最小值为4，∴．∴据题意，知，变形得． ，∴．当且仅当，即时，取等号，∴的最小值为．11．已知函数，不等式的解集为.（1）求；（2）记集合的最大元素为，若正数，，满足，求证：.【解析】（1）由零点分段法化为：或或或，所以集合.（2）集合中最大元素为，所以，其中，，，因为，，，三式相加得：，所以.12．设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．【解析】（I），当，，，，当，，，当，，，，综上所述．（II）易得，若，恒成立，则只需，综上所述．13．已知函数．（1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围．（2）在同一坐标系内作出函数图象和的图象如下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．14．已知函数...
