直角三角形本章内容第1章直角三角形的性质和判定（Ι）本课内容本节内容1.1在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？如图1-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？说一说图1-1在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A+∠B=90°.在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A+∠B=90°.结论直角三角形的两个锐角互余.直角三角形的两个锐角互余.由此得到：议一议议一议议一议议一议议一议议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？如图1-2，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.图1-2结论有两个角互余的三角形是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到：探究如图1-3，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD与线段AB之间的数量关系，你能得出什么结论？图1-3我测量后发现CD=AB.我测量后发现CD=AB.12线段CD比线段AB短.线段CD比线段AB短.图1-3是否对于任意一个Rt△ABC，都有CD=成立呢？12AB图1-4如图1-3，如果中线CD=AB，则有∠DCA=∠A.由此受到启发，在图1-4的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线交AB于，使，12CD=ADD∠=∠ADCA则.CD图1-3∠A+∠B=90°，又 90DCA+DCB，∴BDCB.CD=BD.∴故得12CD=AD=BD=AB.D∴点是斜边上的中点，即是斜边的中线.ABCDCD从而CD与重合，且CDAB.12图1-4结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：举例例1已知：如图1-5，CD是△ABC的AB边上的中线，且.求证：△ABC是直角三角形.12CDAB图1-5证明：因为，所以∠1=∠A，(等边对等角)∠2=∠B.12CDAB=BD=AD图1-5根据三角形内角和性质，有∠A+∠B+∠ACB=180°，即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，2(∠A+∠B)=180°.所以∠A+∠B=90°.根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形.练习1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边AB的长是多少？解解AB=2CD=2×2.5=5(cm).2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.解因为AB∥CD，所以∠BAC+∠DCA=180°.又，，所以所以△AHC是直角三角形.在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，所以有，由EH=2易知AC=4.12CAHBAC12ACHDCA1902CAH+ACHBAC+DCA=()12EHAC如图1-6，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系呢?动脑筋图1-6如图1-6，取线段AB的中点D，连接CD.∴△BDC为等边三角形.∴∠B=60°.图1-6 CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CDABBD.12∴ ∠BCA=90°，且∠A=30°，12BCBD=AB.∴在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果，那么∠A=30°吗？动脑筋12BCAB=图1-7如图1-7，取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边上的中线，则有CDABBD.12又已知，BCAB12所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形.所以∠B=60°.所以∠A=30°.又∠A+∠B=90°，图1-7举例如图1-8所示，在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的危险吗？303图1-8例2解轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.在图1-8中，过A点作AD⊥OB，垂足为D.北东BD60°303图1-8所以轮船不会触礁.在Rt△AOD中，海里，∠AOD=30°.于是=303AO1=2=1303225.98ADAO.≈()海里>20（海里）练习1.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出电梯AB的长度吗？解：在Rt△ABC中,BC=6,∠BAC=30°,∴AB=2BC=2×6=12(m).故电梯AB...
