课时提升练(六)函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·西安检测)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－B.C.D．－【解析】由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故a＋b＝.【答案】B2．(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝()A.B.C．0D．－【解析】 f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f＝f＝f.f＝f＋sin，∴f＝f－. 当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＝.故选A.【答案】A3．函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图231所示，下列说法正确的是()图231①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．A．①③B．②④C．①②D．③④【解析】由图象可知，图象关于原点对称，周期为4，故y＝f(x)应满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)．①②正确．【答案】C4．(2014·大纲全国卷)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－11C．0D．1【解析】因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.【答案】D5．(2013·湖北高考)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【解析】函数的图象(图象略)在两个整数之间都是斜率为1的线段(不含终点)，故选D.【答案】D6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)0，则x的取值范围是________．【解析】 f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－20时，f(x)＝9x＋－7≥a＋1，即6|a|≥a＋8，又a≤－1，故a≤－.【答案】三、解答题10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0
